Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
; em torno do eixo
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
e
em torno do eixo
.\n
Informações dadas e pontos importantes:
Informações dadas e pontos importantes:
- A curva
relaciona com . - A reta vertical
é o eixo (limite à esquerda). - A reta horizontal
é o limite superior da região. - O eixo de rotação é o eixo
(reta horizontal). - Precisamos determinar o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Entender a região no plano
(onde ela fica e quais são os limites):
- Interseção entre
e : substituindo em dá . Ponto . - Interseção entre
e : substituindo em dá . Ponto . - Interseção entre
e : ponto .
Conclusão: a região é a “fatia” vertical limitada à esquerda por, à direita por , entre e . Para cada a abscissa varia de até .
Passo 3
Escolha do método de cálculo e por quê:
- Podemos usar o método dos cascos cilíndricos (método das cascas) ou o método das lâminas/discos (método dos discos/aros).
- Aqui a função está naturalmente dada como
em função de e os limites verticais são simples ( varia de a ). Ao girar em torno do eixo é prático usar cascas obtidas por fatias horizontais (espessura ), porque a “altura” da casca será exatamente a largura horizontal da região: . Por isso escolhemos o método das cascas.
Agora uma mini-aula do método das cascas (didática): - Imagine uma faixa horizontal muito fina, localizada em altura
, com espessura . Ao rodar essa faixa em torno do eixo ela gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância da faixa ao eixo , que é . - A altura (comprimento) da casca é a extensão horizontal da região nessa altura:
. - A área lateral aproximada da casca é
. Multiplicando pela espessura temos o volume aproximado da casca: . - Para o volume total, somamos (integrando) essas cascas sobre o intervalo de
.
Passo 4
Aplicando o método das cascas ao nosso problema:
- Raio da casca:
(distância ao eixo ). - Altura da casca:
. - Volume elemental:
- Integramos de
até :
Passo 5
Cálculo da integral passo a passo:
- Primeiro, fatoramos a constante:
- Lembremos a regra de integração para potências:
, válida para . Aqui , então . Assim
- Substituindo na expressão do volume:
- Avaliando em
e :
logo
Passo 6
Checagem rápida pelo método dos discos/aros (opcional, para confirmar e treinar):
- Expressão de
em função de : a curva implica e assim . - Para um dado
(pois na interseção com temos ), a região em vai de até . Rotacionando em torno do eixo , obtemos um aro com raio externo e raio interno . - Área da secção transversal:
. - Volume:
- Calculando:
e , então . Assim
mesmo resultado — bom sinal!
Passo 7
Resumo final e incentivo: fizemos por cascas (mais direto aqui) e confirmamos por discos; a conta é direta quando a gente organiza raio/altura e aplica a integral com calma. Você já tem a técnica: para rotações, pense em qual variável deixa a “altura” ou o “raio” simples — isso facilita muito. Vai dar certo na prova, respira fundo e confia na técnica!