Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
x=2 \sqrt{y}, \quad x=0, \quad y=9; em torno do eixo x.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por x=2\sqrt{y}, x=0 e y=9 em torno do eixo x.\n
Informações dadas e pontos importantes:
  • A curva x=2\sqrt{y} relaciona x com y.
  • A reta vertical x=0 é o eixo y (limite à esquerda).
  • A reta horizontal y=9 é o limite superior da região.
  • O eixo de rotação é o eixo x (reta horizontal).
  • Precisamos determinar o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Entender a região no plano xy (onde ela fica e quais são os limites):
  • Interseção entre x=0 e x=2\sqrt{y}: substituindo x=0 em 0=2\sqrt{y} \sqrt{y}=0\Rightarrow y=0. Ponto (0,0).
  • Interseção entre x=2\sqrt{y} e y=9: substituindo y=9 em x=2\sqrt{y} x=2\sqrt{9}=6. Ponto (6,9).
  • Interseção entre x=0 e y=9: ponto (0,9).
    Conclusão: a região é a “fatia” vertical limitada à esquerda por x=0, à direita por x=2\sqrt{y}, entre y=0 e y=9. Para cada y\in[0,9] a abscissa varia de x=0 até x=2\sqrt{y}.

Passo 3

Escolha do método de cálculo e por quê:
  • Podemos usar o método dos cascos cilíndricos (método das cascas) ou o método das lâminas/discos (método dos discos/aros).
  • Aqui a função está naturalmente dada como x em função de y e os limites verticais são simples ( y varia de 0 a 9). Ao girar em torno do eixo x é prático usar cascas obtidas por fatias horizontais (espessura dy), porque a “altura” da casca será exatamente a largura horizontal da região: x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=2\sqrt{y}-0. Por isso escolhemos o método das cascas.
    Agora uma mini-aula do método das cascas (didática):
  • Imagine uma faixa horizontal muito fina, localizada em altura y, com espessura dy. Ao rodar essa faixa em torno do eixo x ela gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância da faixa ao eixo x, que é y.
  • A altura (comprimento) da casca é a extensão horizontal da região nessa altura: h(y)=x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}.
  • A área lateral aproximada da casca é 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura}). Multiplicando pela espessura dy temos o volume aproximado da casca: dV \approx 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot dy.
  • Para o volume total, somamos (integrando) essas cascas sobre o intervalo de y.

Passo 4

Aplicando o método das cascas ao nosso problema:
  • Raio da casca: \text{raio}=y (distância ao eixo x).
  • Altura da casca: \text{altura}=2\sqrt{y}-0=2\sqrt{y}.
  • Volume elemental:
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \, dy = 2\pi \cdot y \cdot 2\sqrt{y}\, dy = 4\pi\, y^{3/2}\, dy.
  • Integramos de y=0 até y=9:
V = \int_{0}^{9} 4\pi\, y^{3/2}\, dy.

Passo 5

Cálculo da integral passo a passo:
  • Primeiro, fatoramos a constante:
V = 4\pi \int_{0}^{9} y^{3/2}\, dy.
  • Lembremos a regra de integração para potências: \displaystyle \int y^{p}\, dy = \frac{y^{p+1}}{p+1} + C, válida para p\neq -1. Aqui p=\tfrac{3}{2}, então p+1=\tfrac{5}{2}. Assim
\int y^{3/2}\, dy = \frac{y^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\, y^{5/2}.
  • Substituindo na expressão do volume:
V = 4\pi \cdot \frac{2}{5}\, y^{5/2} \Big|_{0}^{9} = \frac{8\pi}{5}\, y^{5/2} \Big|_{0}^{9}.
  • Avaliando em y=9 e y=0:
9^{5/2} = (\sqrt{9})^{5} = 3^{5} = 243,
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V = \frac{8\pi}{5}\cdot 243 - \frac{8\pi}{5}\cdot 0 = \frac{8\cdot 243\,\pi}{5} = \frac{1944\pi}{5}.

Passo 6

Checagem rápida pelo método dos discos/aros (opcional, para confirmar e treinar):
  • Expressão de y em função de x: a curva x=2\sqrt{y} implica \sqrt{y}=\tfrac{x}{2} e assim y=\tfrac{x^{2}}{4}.
  • Para um dado x\in[0,6] (pois na interseção com y=9 temos x=6), a região em y vai de y_{\text{inferior}}=\tfrac{x^{2}}{4} até y_{\text{superior}}=9. Rotacionando em torno do eixo x, obtemos um aro com raio externo R=9 e raio interno r=\tfrac{x^{2}}{4}.
  • Área da secção transversal: \pi(R^{2}-r^{2})=\pi\bigl(9^{2}-\bigl(\tfrac{x^{2}}{4}\bigr)^{2}\bigr)=\pi\bigl(81-\tfrac{x^{4}}{16}\bigr).
  • Volume:
V = \int_{0}^{6} \pi\Bigl(81-\frac{x^{4}}{16}\Bigr)\, dx = \pi\left[81x - \frac{x^{5}}{80}\right]_{0}^{6}.
  • Calculando: 81\cdot 6 = 486 e 6^{5}=7776, então \tfrac{7776}{80}=\tfrac{486}{5}. Assim
V = \pi\left(486 - \frac{486}{5}\right) = \pi\cdot\frac{1944}{5} = \frac{1944\pi}{5},
mesmo resultado — bom sinal!

Passo 7

Resumo final e incentivo: fizemos por cascas (mais direto aqui) e confirmamos por discos; a conta é direta quando a gente organiza raio/altura e aplica a integral com calma. Você já tem a técnica: para rotações, pense em qual variável deixa a “altura” ou o “raio” simples — isso facilita muito. Vai dar certo na prova, respira fundo e confia na técnica!

Resposta

\displaystyle \frac{1944\pi}{5}

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