Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
.
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo
a região do plano limitada por:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A curva superior da região é
. - A curva inferior é a reta
. - As fronteiras verticais são
(lado esquerdo) e (lado direito). - O eixo de rotação é o eixo
.
O que se pede: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Entendendo a região que vamos girar: para cada
entre
e
, a região tem altura igual a
. Ao girar essa “faixa vertical” em torno do eixo
cada faixa gera uma casca cilíndrica (tipo tubo fino). Vou usar o método das cascas cilíndricas porque:
- As fatias verticais (atuando em
) são naturais aqui: os limites em são dados ( a ). - A fórmula das cascas transforma isso numa integral simples em
.
(Não vou usar disco/anel porque aí precisaríamos expressarem função de e seria menos direto.)
Agora a fórmula básica das cascas cilíndricas: uma casca em
tem
- raio (distância ao eixo
): , - altura:
, - espessura:
,
e o volume de uma casca elementar é
Passo 3
Montamos a integral do volume somando todas as cascas de
até
:
Vou explicar a técnica de integração que usarei: quando temos uma expressão do tipo
aparece naturalmente a substituição
, porque
, ou seja
. Isso simplifica muito a integral.
Passo 4
Faço a substituição
. Então
e
.
Mudança dos limites:
Mudança dos limites:
- quando
, ; - quando
, .
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora calculo a integral de
. A primitiva de
é
(porque ao derivar
volta
). Então:
Calculo os termos:
Portanto
Posso também escrever de forma expandida: