Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
y=\sqrt{5+x^{2}}, \quad y=0, \quad x=0, \quad x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região do plano limitada por:
y=\sqrt{5+x^{2}},\quad y=0,\quad x=0,\quad x=2.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  1. A curva superior da região é y=\sqrt{5+x^{2}}.
  2. A curva inferior é a reta y=0.
  3. As fronteiras verticais são x=0 (lado esquerdo) e x=2 (lado direito).
  4. O eixo de rotação é o eixo y.
O que se pede: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Entendendo a região que vamos girar: para cada x entre 0 e 2, a região tem altura igual a y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}=\sqrt{5+x^{2}}-0=\sqrt{5+x^{2}}. Ao girar essa “faixa vertical” em torno do eixo y cada faixa gera uma casca cilíndrica (tipo tubo fino). Vou usar o método das cascas cilíndricas porque:
  • As fatias verticais (atuando em x) são naturais aqui: os limites em x são dados ( 0 a 2).
  • A fórmula das cascas transforma isso numa integral simples em x.
    (Não vou usar disco/anel porque aí precisaríamos expressar x em função de y e seria menos direto.)
Agora a fórmula básica das cascas cilíndricas: uma casca em x tem
  • raio (distância ao eixo y): r(x)=x,
  • altura: h(x)=\sqrt{5+x^{2}},
  • espessura: dx,
    e o volume de uma casca elementar é
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot (\text{espessura}) = 2\pi x \,\sqrt{5+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Montamos a integral do volume somando todas as cascas de x=0 até x=2:
V=\int_{0}^{2} 2\pi x \sqrt{5+x^{2}}\,dx.
Vou explicar a técnica de integração que usarei: quando temos uma expressão do tipo x\sqrt{a+x^{2}} aparece naturalmente a substituição u=a+x^{2}, porque du=2x\,dx, ou seja x\,dx = \tfrac{1}{2}du. Isso simplifica muito a integral.

Passo 4

Faço a substituição \;u=5+x^{2}\;. Então \;du=2x\,dx\; e \;x\,dx=\tfrac{1}{2}du\;.
Mudança dos limites:
  • quando x=0, u=5+0^{2}=5;
  • quando x=2, u=5+2^{2}=9.
Substituindo na integral:
V = \int_{x=0}^{x=2} 2\pi x \sqrt{5+x^{2}}\,dx = 2\pi \int_{5}^{9} \sqrt{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \pi \int_{5}^{9} u^{1/2}\,du.

Passo 5

Agora calculo a integral de u^{1/2}. A primitiva de u^{1/2} é \tfrac{2}{3}u^{3/2} (porque ao derivar \tfrac{2}{3}u^{3/2} volta u^{1/2}). Então:
V = \pi \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_{5}^{9} = \frac{2\pi}{3}\left(9^{3/2}-5^{3/2}\right).
Calculo os termos:
9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27,\qquad 5^{3/2}=(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}.
Portanto
V = \frac{2\pi}{3}\left(27-5\sqrt{5}\right).
Posso também escrever de forma expandida:
V = 18\pi - \frac{10\pi}{3}\sqrt{5}.

Resposta

V=\frac{2\pi}{3}\left(27-5\sqrt{5}\right)

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