Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
.
.
Passo 1
O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por
,
,
e
em torno do eixo
.
Informações dadas:
; Curva superior/única da região:
.
; Curva inferior:
.
; Limites verticais da região:
e
.
; Eixo de rotação: eixo
.
Pergunta: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.
Informações dadas:
Pergunta: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.
Passo 2
Vou usar o método das cascas cilíndricas (o enunciado pede esse método). Primeiro, explicação didática do método: ao girar a região em torno do eixo
, fazemos cortes verticais (paralelas ao eixo
) em
constantes. Cada faixa vertical estreita, de largura
, ao girar, gera uma casca cilíndrica fina. O volume dessa casca é aproximado por sua área lateral vezes a espessura.
- A circunferência da casca tem comprimento
, onde é o raio da casca (distância do retângulo ao eixo de rotação). - A altura da casca é
(diferença entre a curva superior e a inferior). - A espessura é
.
Portanto, o elemento de volume é
Aqui: explique o que cada símbolo significa:
= distância horizontal do ponto
até o eixo
(ou seja,
);
= altura da faixa = topo menos fundo da região na abscissa
;
= espessura infinitesimal da faixa.
O volume total é a integral desse entre os limites em
:
O volume total é a integral desse
Passo 3
Agora identifique
,
e os limites para o nosso problema:
- O eixo de rotação é o eixo
, então a distância horizontal do ponto até o eixo é
- A altura da casca é a diferença entre
da curva superior e a curva inferior , logo
- Os limites em
vêm das retas verticais que delimitam a região: até . Portanto e .
Passo 4
Formule a integral do volume usando a expressão do Passo 2 com os
e
do Passo 3:
Simplificando o integrando:
Passo 5
Calcule a integral passo a passo. A primitiva de
é
. Assim,
Agora avalie nos limites:
Multiplicando por
: