Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
y=x^{3}, \quad y=0, \quad x=1, \quad x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por y=x^{3}, y=0, x=1 e x=2 em torno do eixo y.
Informações dadas:
\;1.; Curva superior/única da região: y=x^{3}.
\;2.; Curva inferior: y=0.
\;3.; Limites verticais da região: x=1 e x=2.
\;4.; Eixo de rotação: eixo y.
Pergunta: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.

Passo 2

Vou usar o método das cascas cilíndricas (o enunciado pede esse método). Primeiro, explicação didática do método: ao girar a região em torno do eixo y, fazemos cortes verticais (paralelas ao eixo y) em x constantes. Cada faixa vertical estreita, de largura \,dx, ao girar, gera uma casca cilíndrica fina. O volume dessa casca é aproximado por sua área lateral vezes a espessura.
  • A circunferência da casca tem comprimento 2\pi r, onde r é o raio da casca (distância do retângulo ao eixo de rotação).
  • A altura da casca é h (diferença entre a curva superior e a inferior).
  • A espessura é dx.
    Portanto, o elemento de volume é
dV = 2\pi \cdot r \cdot h \cdot dx.
Aqui: explique o que cada símbolo significa:
\;r = distância horizontal do ponto x até o eixo y (ou seja, r=x);
\;h = altura da faixa = topo menos fundo da região na abscissa x;
\;dx = espessura infinitesimal da faixa.
O volume total é a integral desse dV entre os limites em x:
V = \int_{x=a}^{x=b} 2\pi r(x)\,h(x)\,dx.

Passo 3

Agora identifique r(x), h(x) e os limites para o nosso problema:
  • O eixo de rotação é o eixo y, então a distância horizontal do ponto x até o eixo y é
r(x)=x.
  • A altura da casca é a diferença entre y da curva superior y=x^{3} e a curva inferior y=0, logo
h(x)=x^{3}-0=x^{3}.
  • Os limites em x vêm das retas verticais que delimitam a região: x=1 até x=2. Portanto a=1 e b=2.

Passo 4

Formule a integral do volume usando a expressão do Passo 2 com os r(x) e h(x) do Passo 3:
V=\int_{1}^{2} 2\pi \, r(x)\,h(x)\,dx = \int_{1}^{2} 2\pi \cdot x \cdot x^{3}\,dx.
Simplificando o integrando:
V = \int_{1}^{2} 2\pi \, x^{4}\,dx.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo. A primitiva de x^{4} é \dfrac{x^{5}}{5}. Assim,
V = 2\pi \int_{1}^{2} x^{4}\,dx = 2\pi \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{1}^{2}.
Agora avalie nos limites:
\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5}.
Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi \cdot \frac{31}{5} = \frac{62\pi}{5}.

Resposta

\dfrac{62\pi}{5}

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