a) Calcule a solução estacionária de:
l ut=a^2 ux x ; (t, x) in(0, infty) times[0, pi] u(0, t)=-1 ; u(pi, t)=1, t in(0, infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar a solução estacionária da equação de calor dada. Isso significa que estamos procurando uma solução que não muda com o tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e condições de contorno. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma solução estacionária. Na nossa equação:
ut = a^2 uxx
A solução estacionária é aquela onde a variação no tempo é zero, ou seja, 0 = a^2 uxx . Isso simplifica nossa equação para:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação simplificada:
uxx = 0
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem. A solução geral dessa equação é uma função linear, que pode ser escrita como:
u(x) = mx + b
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

As condições de contorno nos são dadas por:
u(0, t) = -1 u(pi, t) = 1
Como estamos procurando a solução estacionária, o u(0) = -1 u(pi) = 1 não interfere. Então, podemos escrever:
Vamos usar essas condições para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, aplicamos u(0) = m cdot 0 + b = b = -1 na solução geral:
Então, encontramos que .

Passo 6

Agora, aplicamos u(pi) = m cdot pi + b = 1 na solução geral:
m cdot pi - 1 = 1 m cdot pi = 2 m = 2pi
Substituímos :

Resposta

A solução estacionária da equação dada é:
u(x) = 2pi x - 1

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