a) Calcule a solução estacionária de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar a solução estacionária da equação de calor dada. Isso significa que estamos procurando uma solução que não muda com o tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e condições de contorno. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma solução estacionária. Na nossa equação:
A solução estacionária é aquela onde a variação no tempo é zero, ou seja,
. Isso simplifica nossa equação para:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação simplificada:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem. A solução geral dessa equação é uma função linear, que pode ser escrita como:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
As condições de contorno nos são dadas por:
Como estamos procurando a solução estacionária, o
não interfere. Então, podemos escrever:
Vamos usar essas condições para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, aplicamos
na solução geral:
Então, encontramos que
.
Passo 6
Agora, aplicamos
na solução geral:
Substituímos
:
Resposta
A solução estacionária da equação dada é: