Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curvas dadas.
x=1+y^{2}, x=0, y=1, y=2 ; ao redor do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por \,x=1+y^{2}, \,x=0, \,y=1 e \,y=2.
O conteúdo é o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula geral é
V = 2\pi \int_{y=y_{1}}^{y_{2}} (\text{raio})(\text{altura})\,dy.
Para aplicar, precisamos expressar o raio da casca e sua altura em função de y.

Passo 2

Para uma posição fixa y\in[1,2], a casca cilíndrica tem:
– raio =y (distância ao eixo x);
– altura =x_{\text{ext}}-x_{\text{int}}=(1+y^{2})-0=1+y^{2}.
Logo o volume é
V = 2\pi \int_{1}^{2} y\,(1+y^{2})\,dy.

Passo 3

Expandindo e integrando:
\int_{1}^{2} y\,(1+y^{2})\,dy = \int_{1}^{2} (y + y^{3})\,dy = \Bigl[\tfrac{1}{2}y^{2} + \tfrac{1}{4}y^{4}\Bigr]_{1}^{2}.
Avalia em y=2: \tfrac{1}{2}\cdot4 + \tfrac{1}{4}\cdot16 =2+4=6.
Avalia em y=1: \tfrac{1}{2}\cdot1 + \tfrac{1}{4}\cdot1 =0,5+0,25=0,75.
Diferença =6-0,75=5,25=\tfrac{21}{4}.
Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi \cdot \tfrac{21}{4} = \tfrac{21}{2}\,\pi.

Resposta

\displaystyle \tfrac{21}{2}\,\pi

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