Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curvas dadas.
y=x^{2}, y=0, x=1, x=2; ao redor de x=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno de x=4, a região limitada por y=x^{2}, y=0, x=1 e x=2. Vamos usar o método de cascas cilíndricas, que consiste em tomar um retângulo vertical em x, de altura h, raio r até o eixo de giro e espessura \mathrm{d}x; ao girar, esse retângulo gera uma casca com volume infinitesimal
\mathrm{d}V = 2\pi\,r\,h\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Aqui x varia de 1 a 2. A altura da casca é a distância entre a curva superior e a inferior:
h = x^{2} - 0 = x^{2}.
O raio da casca é a distância horizontal de x até o eixo x=4:
r = 4 - x.
Logo
\mathrm{d}V = 2\pi\,(4 - x)\,x^{2}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

O volume total é a integral de \mathrm{d}V de x=1 a x=2:
V = 2\pi \int_{1}^{2} (4x^{2} - x^{3})\,\mathrm{d}x.
Calculamos a antiderivada:
\int (4x^{2} - x^{3})\,\mathrm{d}x = \frac{4x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Avaliaremos essa expressão entre 1 e 2:
Em x=2:
\frac{4\cdot 2^{3}}{3} - \frac{2^{4}}{4} = \frac{32}{3} - 4 = \frac{20}{3}.
Em x=1:
\frac{4\cdot 1^{3}}{3} - \frac{1^{4}}{4} = \frac{4}{3} - \frac{1}{4} = \frac{13}{12}.
A diferença é
\frac{20}{3} - \frac{13}{12} = \frac{80 - 13}{12} = \frac{67}{12}.
Multiplicando por 2\pi obtemos
V = 2\pi \,\frac{67}{12} = \frac{67\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{67\pi}{6}

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