Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
x=4 y^{2}-y^{3}, \quad x=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas \;x=4y^{2}-y^{3}\; e \;x=0\; em torno do eixo x.\n
Informações fornecidas:
  • A curva da direita/limite em x é \;x=4y^{2}-y^{3}\;.
  • A curva da esquerda/limite em x é \;x=0\;.
  • O sólido é gerado por rotação dessa região em torno do eixo x.
  • Precisamos calcular o volume numérico do sólido.

Passo 2

O enunciado pede explicitamente para usar o método das cascas cilíndricas. Vou aplicar exatamente esse método. Antes de montar a integral, explico a ideia do método de cascas cilíndricas de forma bem didática:\n
  • Imagine uma fita horizontal, estreita, em altura y (espessura \,dy). Essa fita vai de x=0 até x=4y^{2}-y^{3}.\n
  • Ao girar essa fita em torno do eixo x (que é uma reta horizontal), a fita descreve uma casca cilíndrica: um cilindro fino cuja altura é o comprimento da fita (diferença em x) e cujo raio é a distância do eixo x até a fita (ou seja, |y|).\n
  • O volume aproximado dessa casca fina é a área lateral aproximada do cilindro vezes a espessura: dV \approx (circunferência) \times (altura) \times (espessura)\n
  • A circunferência é 2\pi vezes o raio, a altura é o comprimento em x e a espessura é dy. Portanto, em fórmula:\n
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot dy.
Aqui explico o significado das quantidades usadas:
  • \text{raio} = |y| é a distância do eixo x até a fita horizontal em altura y.\n
  • \text{altura} = x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}} = (4y^{2}-y^{3}) - 0 = 4y^{2}-y^{3}.\n
    Como a região está entre y=0 e y=4 (veremos isso no próximo passo), em todo intervalo y\ge0 temos |y|=y, então podemos usar \text{raio}=y.

Passo 3

Encontremos os limites em y da região, resolvendo onde as curvas se intersectam: \;4y^{2}-y^{3}=0.\n
Resolvendo:
4y^{2}-y^{3}=y^{2}(4-y)=0.
As soluções são \;y=0\; (com multiplicidade 2) e \;y=4\;.\n
Portanto a região está para y variando de \;0 até \;4.

Passo 4

Agora montamos o elemento de volume pelo método das cascas cilíndricas com as quantidades identificadas:\n
  • raio =y,\n
  • altura =4y^{2}-y^{3},\n
  • espessura =dy.\n
    Logo o volume elementar é
dV = 2\pi \cdot y \cdot (4y^{2}-y^{3})\, dy.

Passo 5

A integral que dá o volume total é feita somando (integrando) essas cascas para y de 0 a 4. Assim:
V = \int_{0}^{4} 2\pi\, y(4y^{2}-y^{3})\, dy.
Antes de integrar, simplifico o integrando:
y(4y^{2}-y^{3}) = 4y^{3}-y^{4},
portanto
V = \int_{0}^{4} 2\pi(4y^{3}-y^{4})\, dy = \int_{0}^{4} \bigl(8\pi y^{3} - 2\pi y^{4}\bigr)\, dy.

Passo 6

Integro termo a termo (lembrando a regra básica \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}):\n
Para o primeiro termo:
\int_{0}^{4} 8\pi y^{3}\, dy = 8\pi \cdot \left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{4} = 8\pi \cdot \frac{4^{4}}{4}.
Calculo 4^{4}=256, então
8\pi \cdot \frac{256}{4} = 8\pi \cdot 64 = 512\pi.\n
Para o segundo termo:
\int_{0}^{4} 2\pi y^{4}\, dy = 2\pi \cdot \left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{4} = 2\pi \cdot \frac{4^{5}}{5}.
Calculo 4^{5}=1024, então
2\pi \cdot \frac{1024}{5} = \frac{2048\pi}{5}.

Passo 7

Subtraindo os dois resultados para obter o volume total:
V = 512\pi - \frac{2048\pi}{5}.
Coloco em denominador comum 5:
V = \frac{2560\pi}{5} - \frac{2048\pi}{5} = \frac{512\pi}{5}.

Resposta

\dfrac{512\pi}{5}

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