Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A curva da direita/limite em
é . - A curva da esquerda/limite em
é . - O sólido é gerado por rotação dessa região em torno do eixo
. - Precisamos calcular o volume numérico do sólido.
Passo 2
O enunciado pede explicitamente para usar o método das cascas cilíndricas. Vou aplicar exatamente esse método. Antes de montar a integral, explico a ideia do método de cascas cilíndricas de forma bem didática:\n
- Imagine uma fita horizontal, estreita, em altura
(espessura ). Essa fita vai de até .\n - Ao girar essa fita em torno do eixo
(que é uma reta horizontal), a fita descreve uma casca cilíndrica: um cilindro fino cuja altura é o comprimento da fita (diferença em ) e cujo raio é a distância do eixo até a fita (ou seja, ).\n - O volume aproximado dessa casca fina é a área lateral aproximada do cilindro vezes a espessura:
(circunferência) (altura) (espessura)\n - A circunferência é
vezes o raio, a altura é o comprimento em e a espessura é . Portanto, em fórmula:\n
Aqui explico o significado das quantidades usadas:
-
é a distância do eixo até a fita horizontal em altura .\n -
\n
Como a região está entree (veremos isso no próximo passo), em todo intervalo temos , então podemos usar .
Passo 3
Encontremos os limites em
da região, resolvendo onde as curvas se intersectam:
\n
Resolvendo:
Resolvendo:
As soluções são
(com multiplicidade 2) e
.\n
Portanto a região está para variando de
até
.
Portanto a região está para
Passo 4
Agora montamos o elemento de volume pelo método das cascas cilíndricas com as quantidades identificadas:\n
- raio
,\n - altura
,\n - espessura
.\n
Logo o volume elementar é
Passo 5
A integral que dá o volume total é feita somando (integrando) essas cascas para
de
a
. Assim:
Antes de integrar, simplifico o integrando:
portanto
Passo 6
Integro termo a termo (lembrando a regra básica
):\n
Para o primeiro termo:
Para o primeiro termo:
Calculo
, então
Para o segundo termo:
Calculo
, então
Passo 7
Subtraindo os dois resultados para obter o volume total:
Coloco em denominador comum
: