Determine se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule. \int_{0}^{3} \frac{d x}{x^{2}-6 x+5}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{3}\frac{dx}{x^{2}-6x+5}
é convergente ou divergente; e, se for convergente, calcular o seu valor. Informações dadas e observações imediatas: \;x^{2}-6x+5 é um polinômio que pode ser fatorado; suas raízes são \;x=1 e \;x=5. Note que o ponto \;x=1 pertence ao intervalo de integração [0,3], portanto existe uma singularidade (polo) interior ao intervalo. Isso indica que a integral é imprópria e precisa ser tratada por limites laterais.
Passo 2
Como há uma singularidade em \;x=1 dentro do intervalo, devemos definir a integral como soma de limites laterais:
Se pelo menos um desses limites laterais for infinito ou não existir finitamente, a integral imprópria é divergente. Portanto o plano é: achar uma primitiva da função (onde for válida) e avaliar os dois limites.
Passo 3
Fatoramos o denominador e fazemos decomposição em frações parciais. Primeiro:
x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5).
Queremos constantes A e B tais que
\frac{1}{(x-1)(x-5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-5}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-5) obtemos
1=A(x-5)+B(x-1).
Escolhendo valores convenientes:
Para x=1: 1=A(1-5)+B(0)\Rightarrow 1=-4A\Rightarrow A=-\tfrac{1}{4}.
Para x=5: 1=A(0)+B(5-1)\Rightarrow 1=4B\Rightarrow B=\tfrac{1}{4}.
Logo
Agora o comportamento de F(t) quando t\to1^-: para t próximo de 1 pela esquerda temos |t-5|\to4 (finite) e |t-1|\to0^+ então \ln|t-1|\to -\infty. Como F(t)=\tfrac{1}{4}(\ln|t-5|-\ln|t-1|), o termo -\ln|t-1| tende a +\infty. Portanto
\lim_{t\to1^-}\big(F(t)-F(0)\big)=+\infty.
Ou seja, a integral do trecho [0,1) diverge para +\infty.
Passo 6
Por completude, analisemos o limite direito \lim_{s\to1^+}\int_{s}^{3}\frac{dx}{x^{2}-6x+5}. Novamente,
Portanto a integral no trecho (1,3] diverge para -\infty.
Passo 7
Como o limite esquerdo tende a +\infty e o limite direito tende a -\infty, pelo menos um dos limites laterais não é finito (na verdade ambos são divergentes em sinais opostos). Logo a integral imprópria no sentido usual não converge; não há um valor finito da integral.
Resposta
A integral é divergente (não converge); \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}-6x+5}=+\infty e \displaystyle\int_{1}^{3}\frac{dx}{x^{2}-6x+5}=-\infty.