Use o método dos coeficientes a determinar para indicar uma solução particular para cada uma das equações não homogêneas abaixo. (Não é necessário calcular as constantes!!!)
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=x e^{-x} \cos (2 x).

Passo 1

O enunciado dá a equação não homogênea
y'' + 2y' + 5y = x e^{-x}\cos(2x)
e pede que a gente indique, pelo método dos coeficientes a determinar, um formato (ansatz) de solução particular. Vamos usar a forma do termo forçante, a raiz da equação característica e a regra de ressonância.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 2y' +5y=0
cuja equação característica é r^2+2r+5=0, com raízes
r=-1\pm2i.
Isso significa que a solução homogênea inclui e^{-x}\cos(2x) e e^{-x}\sin(2x).

Passo 3

O termo forçante é
x e^{-x}\cos(2x),
isto é, um polinômio de grau 1 (o x) multiplicado por e^{-x}\cos(2x). Sem ressonância, o ansatz seria
\tilde y_p = e^{-x}\bigl[(A x + B)\cos(2x) + (C x + D)\sin(2x)\bigr].

Passo 4

Como e^{-x}\cos(2x) e e^{-x}\sin(2x) já aparecem na solução homogênea, há ressonância de ordem 1. Pela regra, multiplicamos o ansatz por um fator x.

Passo 5

Portanto, a forma final sugerida para a solução particular é
y_p = x\,e^{-x}\bigl[(A x + B)\cos(2x) + (C x + D)\sin(2x)\bigr],
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Resposta

y_p = x\,e^{-x}\bigl[(A x + B)\cos(2x) + (C x + D)\sin(2x)\bigr].

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