Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + 4y = x^2.
O conteúdo principal é solução geral de EDO linear com coeficientes constantes. Vamos obter a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, resolvemos a equação característica associada:
r^2 + 4 = 0
Logo
r = \pm 2\,i,
e a solução geral da parte homogênea é
y_h(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p para o termo não homogêneo x^2. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, supomos
y_p(x) = A x^2 + B x + C.
Então
y_p'(x) = 2A x + B, \qquad y_p''(x) = 2A.

Passo 4

Substituindo em y'' + 4y = x^2, obtemos
y_p'' + 4y_p = 2A + 4\bigl(Ax^2 + Bx + C\bigr) = 4A x^2 + 4B x + (2A + 4C).
Isto deve ser igual a x^2, portanto igualamos coeficientes:
4A = 1,\quad 4B = 0,\quad 2A + 4C = 0.
Dessas igualdades segue
A = \tfrac14, \quad B = 0, \quad C = -\tfrac18.
Logo
y_p(x) = \tfrac14 x^2 - \tfrac18.

Passo 5

A solução geral da equação dada é a soma de y_h e y_p:
y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \tfrac14 x^2 - \tfrac18.

Resposta

y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{x^2}{4} - \frac{1}{8}.

Exercícios relacionados