Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial conforme seja o caso:
y^{\prime}=y^{2} \operatorname{sec} x \tan x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = y^2 \,\operatorname{sec} x \,\tan x
que é uma equação de variáveis separáveis. Vamos usar o método de separação de variáveis, isolando termos em y de um lado e em x do outro, para então integrar em cada variável.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{dy}{dx} = y^2 \operatorname{sec} x \tan x
como
\frac{dy}{y^2} = \operatorname{sec} x \,\tan x \,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo temos
\int \frac{dy}{y^2} = \int y^{-2} \,dy = -\frac{1}{y},
e no lado direito
\int \operatorname{sec} x \,\tan x \,dx = \operatorname{sec} x + C,
onde C é constante de integração. Assim obtemos
-\frac{1}{y} = \operatorname{sec} x + C.

Passo 4

Isolamos y. Primeiro multiplicamos por -1 e reescrevemos a constante:
\frac{1}{y} = -\operatorname{sec} x + C_1,
com C_1 = -C. Fazendo a inversão,
y = \frac{1}{C_1 - \operatorname{sec} x},
onde C_1 é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \frac{1}{C - \operatorname{sec} x},
em que C é a constante de integração.

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