Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
. - A tarefa é obter a solução geral
, que é a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito igual a zero):
Explicação do método: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo
temos
e
. Ao inserir na equação homogênea,
não é zero, então obtemos a equação característica em
:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Fatorando:
logo as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (serão determinadas por condições iniciais, se houver).
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Explicação do método: quando o termo da direita é uma função simples como exponencial, polinômio, seno/cosseno ou produto desses, tenta-se uma combinação da mesma forma, com coeficientes desconhecidos. Um detalhe importante é verificar se a forma proposta entra em conflito (ressonância) com as soluções homogêneas: se o expoente da exponencial for raiz da equação característica, é preciso multiplicar a tentativa por potências de
.
Aqui o termo não-homogêneo é
. Verificamos se
é raiz da característica; as raízes foram
e
, então
NÃO é raiz. Portanto a forma apropriada para
é simplesmente
onde
é uma constante desconhecida a determinar.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e substituímos na equação para achar
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Fatorando
:
Devemos igualar isso ao lado direito
, logo
Como
nunca é zero, podemos cancelar e obter
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias reais.