Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral das equações abaixo:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' - 3y = 3e^{2x}.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 3e^{2x}.
  • A tarefa é obter a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito igual a zero):
y'' - 2y' - 3y = 0.
Explicação do método: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo y=e^{rx} temos y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Ao inserir na equação homogênea, e^{rx} não é zero, então obtemos a equação característica em r:
r^2 - 2r - 3 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Fatorando:
r^2 - 2r - 3 = (r-3)(r+1) = 0,
logo as raízes são r=3 e r=-1. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (serão determinadas por condições iniciais, se houver).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(x) da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Explicação do método: quando o termo da direita é uma função simples como exponencial, polinômio, seno/cosseno ou produto desses, tenta-se uma combinação da mesma forma, com coeficientes desconhecidos. Um detalhe importante é verificar se a forma proposta entra em conflito (ressonância) com as soluções homogêneas: se o expoente da exponencial for raiz da equação característica, é preciso multiplicar a tentativa por potências de x.
Aqui o termo não-homogêneo é 3e^{2x}. Verificamos se r=2 é raiz da característica; as raízes foram 3 e -1, então 2 NÃO é raiz. Portanto a forma apropriada para y_p é simplesmente
y_p(x) = A e^{2x},
onde A é uma constante desconhecida a determinar.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p e substituímos na equação para achar A.
Derivadas:
y_p' = 2A e^{2x},
y_p'' = 4A e^{2x}.
Substituindo em y'' - 2y' - 3y:
y_p'' - 2y_p' - 3y_p = (4A e^{2x}) - 2(2A e^{2x}) - 3(A e^{2x}).
Fatorando e^{2x}:
y_p'' - 2y_p' - 3y_p = (4A - 4A - 3A)\,e^{2x} = -3A\,e^{2x}.
Devemos igualar isso ao lado direito 3e^{2x}, logo
-3A\,e^{2x} = 3e^{2x}.
Como e^{2x} nunca é zero, podemos cancelar e obter
-3A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Portanto a solução particular é
y_p(x) = -e^{2x}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias reais.

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - e^{2x}

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