É correto afirmar que uma das equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas (
)
e
é
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá duas retas e pede saber qual das alternativas é a equação de uma das bissetrizes dos ângulos formados por elas. Dados fornecidos:
- Reta
: . - Reta
: .
O que se pede: identificar qual alternativa (a, b, c, d ou e) corresponde a uma das bissetrizes dos ângulos formados pore .
Passo 2
Ideia usada (explicada passo a passo): um ponto pertence à bissetriz dos ângulos formados por duas retas se suas distâncias às duas retas são iguais. A distância de um ponto
à reta
é
Portanto, para as retas
e
a equação das bissetrizes é obtida igualando essas distâncias, dando a condição (retirando o valor absoluto surgem os sinais
):
Isso gera duas retas (as duas bissetrizes).
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: para
temos
,
,
. O módulo do vetor normal é
Para
temos
,
,
. O módulo do vetor normal é
Passo 4
Escrevendo a igualdade das distâncias sem o valor absoluto (duas possibilidades
):
Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar denominadores) obtemos
Passo 5
Caso com o sinal
:
Expandindo ambos os lados:
Passando tudo para o mesmo lado:
ou seja
Essa é uma das bissetrizes.
Passo 6
Caso com o sinal
:
Expandindo:
Passando tudo para o mesmo lado:
ou seja
Essa é a outra bissetriz.
Passo 7
Comparando as duas equações obtidas com as alternativas do enunciado:
- Encontramos
. - Encontramos
.
A alternativa (b) é exatamente
. Logo uma das bissetrizes corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)