É correto afirmar que uma das equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas ( r ) \sqrt{3} x+y-1=0 e (s) 3 x+4 y+1=0 é
a) (6 \sqrt{3}-2) x-3 y+2=0
b) (5 \sqrt{3}+6) x+13 y-3=0
c) (5 \sqrt{3}-3) x+10 y-3=0
d) (6 \sqrt{3}-5) x-3 y+7=0
e) (5 \sqrt{3}-6) x-13 y-7=0

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede saber qual das alternativas é a equação de uma das bissetrizes dos ângulos formados por elas. Dados fornecidos:
  • Reta r: \sqrt{3}\,x + y - 1 = 0.
  • Reta s: 3x + 4y + 1 = 0.
    O que se pede: identificar qual alternativa (a, b, c, d ou e) corresponde a uma das bissetrizes dos ângulos formados por r e s.

Passo 2

Ideia usada (explicada passo a passo): um ponto pertence à bissetriz dos ângulos formados por duas retas se suas distâncias às duas retas são iguais. A distância de um ponto (x,y) à reta a x + b y + c = 0 é
\frac{|a x + b y + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.
Portanto, para as retas r e s a equação das bissetrizes é obtida igualando essas distâncias, dando a condição (retirando o valor absoluto surgem os sinais \pm):
\frac{\text{expressão de }r}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm\frac{\text{expressão de }s}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.ãã
Isso gera duas retas (as duas bissetrizes).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: para r temos a_1=\sqrt{3}, b_1=1, c_1=-1. O módulo do vetor normal é
\sqrt{a_1^2+b_1^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Para s temos a_2=3, b_2=4, c_2=1. O módulo do vetor normal é
\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Escrevendo a igualdade das distâncias sem o valor absoluto (duas possibilidades \pm):
\frac{\sqrt{3}\,x + y - 1}{2}=\pm\frac{3x + 4y + 1}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 10 (para eliminar denominadores) obtemos
5\bigl(\sqrt{3}\,x + y - 1\bigr)=\pm 2\bigl(3x + 4y + 1\bigr).

Passo 5

Caso com o sinal +:
5\bigl(\sqrt{3}\,x + y - 1\bigr)=2\bigl(3x + 4y + 1\bigr).
Expandindo ambos os lados:
5\sqrt{3}\,x + 5y - 5 = 6x + 8y + 2.
Passando tudo para o mesmo lado:
(5\sqrt{3}-6)x + (5-8)y + (-5-2)=0,
ou seja
(5\sqrt{3}-6)x - 3y - 7 = 0.
Essa é uma das bissetrizes.

Passo 6

Caso com o sinal -:
5\bigl(\sqrt{3}\,x + y - 1\bigr)=-2\bigl(3x + 4y + 1\bigr).
Expandindo:
5\sqrt{3}\,x + 5y - 5 = -6x - 8y - 2.
Passando tudo para o mesmo lado:
(5\sqrt{3}+6)x + (5+8)y + (-5+2)=0,
ou seja
(5\sqrt{3}+6)x + 13y - 3 = 0.
Essa é a outra bissetriz.

Passo 7

Comparando as duas equações obtidas com as alternativas do enunciado:
  • Encontramos (5\sqrt{3}-6)x - 3y - 7 = 0.
  • Encontramos (5\sqrt{3}+6)x + 13y - 3 = 0.
A alternativa (b) é exatamente (5\sqrt{3}+6)x + 13y - 3 = 0. Logo uma das bissetrizes corresponde à alternativa (b).

Resposta

b)

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