Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. $$
Se existir \lim _{x \rightarrow a} f(x), então também existem \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a afirmação: "Se existir \lim_{x\to a} f(x), então também existem \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x)".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar o porquê.
Informação relevante dada: existe \lim_{x\to a} f(x).
O que devemos verificar: a existência de \lim_{x\to a^-} f(x) (limite pela esquerda) e de \lim_{x\to a^+} f(x) (limite pela direita).

Passo 2

Vou lembrar a definição precisa de limite (essa é a ferramenta principal que usaremos). Dizemos que
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando em miúdos:
  • f é a função; a é o ponto onde estamos olhando; L é o valor que a função “se aproxima” quando x se aproxima de a.
  • O quantificador "para todo \varepsilon>0" significa: por mais apertado que seja o intervalo ao redor de L, existe um intervalo ao redor de a (de raio \delta) tal que sempre que x estiver nesse intervalo (mas diferente de a) a função fica dentro do intervalo em torno de L.
  • A condição 0<|x-a|<\delta permite x aproximar-se de a tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 3

Agora defino os limites laterais com a mesma linguagem:
  • Dizemos que \lim_{x\to a^+} f(x)=L_+ se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<x-a<\delta (ou seja, x>a e x bem próximo de a), vale |f(x)-L_+|<\varepsilon.
  • Dizemos que \lim_{x\to a^-} f(x)=L_- se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<a-x<\delta (ou seja, x<a e x bem próximo de a), vale |f(x)-L_-|<\varepsilon.
Observação didática: a única diferença entre a definição do limite \lim_{x\to a} f(x) e das definições laterais é que, no caso geral, x pode estar à esquerda ou à direita de a; nos limites laterais restringimos a aproximação a apenas um dos lados.

Passo 4

Prova direta (usando epsilon-delta) de que, se \lim_{x\to a} f(x)=L existe, então existem os limites laterais e ambos valem L.
Suponha \lim_{x\to a} f(x)=L. Então, por definição, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
\text{se }0<|x-a|<\delta\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
Agora observe:
  • Para mostrar que \lim_{x\to a^+} f(x)=L, pegue exatamente esse mesmo \delta. Se x satisfaz 0<x-a<\delta então, em particular, 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon. Isso mostra que a condição da definição de limite pela direita é satisfeita com o mesmo L. Logo \lim_{x\to a^+} f(x)=L.
  • Analogamente, para mostrar que \lim_{x\to a^-} f(x)=L, use o mesmo argumento com x tal que 0<a-x<\delta. De novo 0<|x-a|<\delta e concluímos |f(x)-L|<\varepsilon. Assim \lim_{x\to a^-} f(x)=L.
Portanto, a existência de \lim_{x\to a} f(x) implica que os dois limites laterais existem e são iguais a L.

Passo 5

Explicação alternativa (sequencial), que às vezes é mais intuitiva: a caracterização sequencial do limite diz que \lim_{x\to a} f(x)=L se, e somente se, para toda sequência (x_n) com x_n\neq a e x_n\to a, tem-se f(x_n)\to L.
Então, para construir a sequência que aproxima a pela direita, escolha uma sequência x_n>a com x_n\to a; por suposição f(x_n)\to L, o que mostra que \lim_{x\to a^+} f(x)=L. Mesma ideia pela esquerda. É a mesma conclusão, só vista por outro ângulo.

Passo 6

Observação importante sobre a recíproca (isso ajuda a fixar a ideia): a existência de [\lim_{x\to a^-} f(x)) e de \lim_{x\to a^+} f(x) não garante em geral que \lim_{x\to a} f(x) exista — a recíproca é: \lim_{x\to a} f(x) existe se, e somente se, ambos os limites laterais existem e são iguais.
Exemplo simples (contraponto): a função degrau (função de Heaviside)
f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1, & x>0, \end{cases}
tem \lim_{x\to 0^-} f(x)=0\] e \(\lim_{x\to 0^+} f(x)=1, ambos existem, mas são diferentes, logo \lim_{x\to 0} f(x) não existe.]

Passo 7

Conclusão final e incentivo: assim, a afirmação do enunciado é verdadeira — o limite geral implica os limites laterais, e ambos devem coincidir com o mesmo valor. Vai dar certo na prova: quando vir \lim_{x\to a} f(x) existe, já pode automaticamente afirmar que os dois limites laterais existem e valem esse mesmo número. Respira fundo, você está aprendendo bem esse conceito!

Resposta

Verdadeiro

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