Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. $$
Se existir
, então também existem
e
.
Se existir
Passo 1
O enunciado dá a afirmação: "Se existir
, então também existem
e
".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar o porquê.
Informação relevante dada: existe .
O que devemos verificar: a existência de (limite pela esquerda) e de
(limite pela direita).
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar o porquê.
Informação relevante dada: existe
O que devemos verificar: a existência de
Passo 2
Vou lembrar a definição precisa de limite (essa é a ferramenta principal que usaremos). Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, para todo
com
, vale
.
Explicando em miúdos:
-
é a função; é o ponto onde estamos olhando; é o valor que a função “se aproxima” quando se aproxima de . - O quantificador "para todo
" significa: por mais apertado que seja o intervalo ao redor de , existe um intervalo ao redor de (de raio ) tal que sempre que estiver nesse intervalo (mas diferente de ) a função fica dentro do intervalo em torno de . - A condição
permite aproximar-se de tanto pela esquerda quanto pela direita.
Passo 3
Agora defino os limites laterais com a mesma linguagem:
- Dizemos que
se, para todo , existe tal que, para todo com (ou seja, e bem próximo de ), vale . - Dizemos que
se, para todo , existe tal que, para todo com (ou seja, e bem próximo de ), vale .
Observação didática: a única diferença entre a definição do limite
e das definições laterais é que, no caso geral,
pode estar à esquerda ou à direita de
; nos limites laterais restringimos a aproximação a apenas um dos lados.
Passo 4
Prova direta (usando epsilon-delta) de que, se
existe, então existem os limites laterais e ambos valem
.
Suponha
. Então, por definição, para todo
existe
tal que
Agora observe:
- Para mostrar que
, pegue exatamente esse mesmo . Se satisfaz então, em particular, , então . Isso mostra que a condição da definição de limite pela direita é satisfeita com o mesmo . Logo . - Analogamente, para mostrar que
, use o mesmo argumento com tal que . De novo e concluímos . Assim .
Portanto, a existência de
implica que os dois limites laterais existem e são iguais a
.
Passo 5
Explicação alternativa (sequencial), que às vezes é mais intuitiva: a caracterização sequencial do limite diz que
se, e somente se, para toda sequência
com
e
, tem-se
.
Então, para construir a sequência que aproxima
pela direita, escolha uma sequência
com
; por suposição
, o que mostra que
. Mesma ideia pela esquerda. É a mesma conclusão, só vista por outro ângulo.
Passo 6
Observação importante sobre a recíproca (isso ajuda a fixar a ideia): a existência de [\lim_{x\to a^-} f(x)) e de
não garante em geral que
exista — a recíproca é:
existe se, e somente se, ambos os limites laterais existem e são iguais.
Exemplo simples (contraponto): a função degrau (função de Heaviside)
tem
, ambos existem, mas são diferentes, logo
não existe.]
Passo 7
Conclusão final e incentivo: assim, a afirmação do enunciado é verdadeira — o limite geral implica os limites laterais, e ambos devem coincidir com o mesmo valor. Vai dar certo na prova: quando vir
existe, já pode automaticamente afirmar que os dois limites laterais existem e valem esse mesmo número. Respira fundo, você está aprendendo bem esse conceito!
Resposta
Verdadeiro