Use o método de coeficientes indeterminados para resolver o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é um sistema linear de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea e de uma solução particular. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, que é:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Calculamos o determinante para encontrar os autovalores
:
Então, os autovalores são complexos:
e
.
Passo 3
Com os autovalores em mãos, a solução da parte homogênea é dada por:
Onde
e
. Então:
Aqui,
e
são vetores constantes que serão determinados pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para o sistema completo. Observando o lado direito da equação, temos termos do tipo
,
, e exponenciais
.
Vamos supor que a solução particular seja da forma:
Onde
,
,
,
,
e
são coeficientes a serem determinados.
Derivando
:
Substituindo
e
na equação original e igualando os termos, resolvemos para encontrar os coeficientes
,
,
,
,
e
.
Após resolver o sistema de equações resultante, obtemos os valores desses coeficientes.
Passo 5
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é: