Use o método de coeficientes indeterminados para resolver o sistema.
X' = (1 - 4)(4 1) X + (4t + 9e^(6t), -t + e^(6t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é um sistema linear de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea e de uma solução particular. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, que é:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Calculamos o determinante para encontrar os autovalores :
Então, os autovalores são complexos: e .

Passo 3

Com os autovalores em mãos, a solução da parte homogênea é dada por:
Onde e . Então:
Aqui, e são vetores constantes que serão determinados pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo. Observando o lado direito da equação, temos termos do tipo , , e exponenciais .
Vamos supor que a solução particular seja da forma:
Onde , , , , e são coeficientes a serem determinados.
Derivando :
Substituindo e na equação original e igualando os termos, resolvemos para encontrar os coeficientes , , , , e .
Após resolver o sistema de equações resultante, obtemos os valores desses coeficientes.

Passo 5

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:

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