Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v, indicando se a função cresce, decresce ou se mantém constante nesta direção.
f(x, y, z) = x^2 * y + y^2 * z, (1, 2, 3), v = (2, -1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a direção do vetor. Vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis.
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado . Substituímos , e nas componentes do gradiente:

Passo 4

Seguinte, precisamos transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, a derivada direcional de na direção de no ponto é o produto escalar entre o gradiente de nesse ponto e o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é . Isso significa que, nessa direção, a função está crescendo.

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