Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
, indicando se a função cresce, decresce ou se mantém constante nesta direção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a direção do vetor. Vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis.
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado
. Substituímos
,
e
nas componentes do gradiente:
Passo 4
Seguinte, precisamos transformar o vetor
em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Agora, a derivada direcional de
na direção de
no ponto
é o produto escalar entre o gradiente de
nesse ponto e o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
. Isso significa que, nessa direção, a função está crescendo.