Use o método de Cramer para resolver (nos casos possíveis) os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=1 \\\\ -y+2 x+z=3 \\\ y-x=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Cramer, o sistema
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 2x - y + z = 3,\\\\ -\,x + y = 4, \end{cases}
que é um sistema linear 3\times3. Vamos montar a matriz dos coeficientes e usar determinantes para obter x, y e z.

Passo 2

A matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes são
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 2 & -1 & 1 \\[6pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}.
Definimos
D = \det(A).]

Passo 3

Calculamos
D = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & 1 \\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = -1\cdot0 - 1\cdot1 = -1,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} = 2\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = 2\cdot1 - (-1)\cdot(-1) = 2-1 = 1.
Logo
D = 1\cdot(-1) - 1\cdot1 + 1\cdot1 = -1 - 1 + 1 = -1.]

Passo 4

Como D\neq 0, calculamos os determinantes numeradores substituindo cada coluna por \mathbf{b}.
Para x:
D_x = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[4pt] 3 & -1 & 1 \\[4pt] 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 10.
Para y:
D_y = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 1 \\[4pt] -1 & 4 & 0 \end{pmatrix} = 6.
Para z:
D_z = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & 3 \\[4pt] -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} = -17.]

Passo 5

Pelo teorema de Cramer,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{10}{-1} = -10,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{6}{-1} = -6,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-17}{-1} = 17.

Resposta

x = -10, y = -6, z = 17.

Exercícios relacionados