Use o método de Cramer para resolver (nos casos possíveis) os seguintes sistemas de equações lineares:
\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & -3 & -2 \\\\ -2 & -3 & 2 & -5 \\\\ 1 & 3 & -2 & 2 \\\\ -1 & -6 & 4 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z \\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 8 \\\\ 4 \\\\ 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
A\,(x,y,z,t)^{T} = b,
com
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 & -2 \\[6pt] -2 & -3 & 2 & -5 \\[6pt] 1 & 3 & -2 & 2 \\[6pt] -1 & -6 & 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}2\\\ 8\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}.
O método de Cramer diz que, se \det(A)\neq0, então a solução única é
x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)},\quad t = \frac{\det(A_t)}{\det(A)},
onde A_x,A_y,A_z,A_t são as matrizes obtidas trocando, em A, a coluna correspondente por b.]

Passo 2

Calcular \det(A) por eliminação:
  1. R_2\leftarrow R_2+R_1, R_4\leftarrow R_4+R_3.
  2. Troca R_1\leftrightarrow R_3.
  3. Elimina entradas abaixo de a_{11}.
    O resultado é
\det(A) = -4 \neq 0.

Passo 3

Como \det(A)\neq0, o sistema tem solução única e aplicamos diretamente as fórmulas de Cramer:
x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)},\quad t = \frac{\det(A_t)}{\det(A)}.

Passo 4

Substituindo a 1ª coluna de A por b e calculando o determinante por eliminação, obtém-se
\det(A_x) = 108 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{108}{-4} = -27.

Passo 5

Substituindo a 2ª coluna de A por b e calculando o determinante, obtemos
\det(A_y) = -276 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{-276}{-4} = 69.

Passo 6

Substituindo a 3ª coluna de A por b e calculando o determinante, obtemos
\det(A_z) = -372 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{-372}{-4} = 93.

Passo 7

Substituindo a 4ª coluna de A por b e calculando o determinante, obtemos
\det(A_t) = -20 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{-20}{-4} = 5.

Resposta

(x,y,z,t) = (-27,\;69,\;93,\;5)

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