Use o Método dedutivo para demonstrar:
Passo 1
Enunciado e contexto: Precisamos demonstrar por dedução natural que
Essa equivalência pertence à lógica proposicional. Para isso vamos usar as regras de eliminação e introdução de
e
, além da introdução de
.
Passo 2
Prova de
:
Assumimos a premissa
- Extraímos
e por eliminação de . - Abrimos uma subprova assumindo
. - Aplicamos eliminação de
em com para obter . - Aplicamos eliminação de
em com para obter . - Unimos
e por introdução de , gerando . - Fechamos a subprova e, por introdução de
, obtemos
Passo 3
Prova de
:
Assumimos
Para derivar
:
- Abrimos subprova assumindo
. - Aplicamos eliminação de
para obter . - Extraímos
por eliminação de . - Fechamos a subprova e, por introdução de
, obtemos .
De modo análogo, para derivar
:
- Abrimos subprova assumindo
. - Obtemos
pela eliminação de . - Extraímos
por eliminação de . - Fechamos a subprova e introduzimos
.
Por fim, unimos
e
por introdução de
, chegando a
Passo 4
Conclusão da equivalência: como demonstramos ambas as direções (
e
), aplicamos a introdução de
e concluímos
Resposta
(p\to q)\wedge(p\to r)\Leftrightarrow p\to(q\wedge r)