Use o Método dedutivo para demonstrar:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, pelo método dedutivo em lógica proposicional, que
é logicamente equivalente a
. Vamos usar regras de dedução natural e equivalências como De Morgan.
é logicamente equivalente a
. Vamos usar regras de dedução natural e equivalências como De Morgan.
Passo 2
Mostramos primeiro a direção
.
Assumimos a hipótese e queremos chegar em
.
Assumimos a hipótese
Passo 3
De
extraímos por eliminação de conjunção:
-
-
.
Passo 4
Para provar
, assumimos temporariamente
e mostramos contradição. Aplicamos eliminação de disjunção em
:
- Caso 1: supomos
. Mas de e vem contradição. - Caso 2: supomos
. De e obtém-se , que novamente contraria .
Assim, em ambos os casos chega-se à contradição, permitindo concluir.
Passo 5
Agora mostramos a direção
.
Assumimos e vamos derivar ambos
e
.
Assumimos
Passo 6
Para obter
: assumimos temporariamente
. Então
seria verdadeiro, mas isso contradiz
. Logo, por redução ao absurdo, concluímos
.
Passo 7
Para obter
: assumimos temporariamente
. Novamente
seria verdadeiro, gerando contradição com
. Da contradição, por ex falso sequitur quodlibet, podemos inferir
. Assim temos
.
Passo 8
Por fim, usando introdução de conjunção em
e
, obtemos
.
Passo 9
Como provamos ambas as implicações, concluímos que
.