Use o método dedutivo para demonstrar
(p \rightarrow q) \rightarrow q \Leftrightarrow p \vee q

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Dado: a fórmula (p \rightarrow q) \rightarrow q.
  • Pedido: demonstrar por método dedutivo que (p \rightarrow q) \rightarrow q é logicamente equivalente a p \vee q; isto é, provar
(p \rightarrow q) \rightarrow q \Leftrightarrow p \vee q.
Observação útil sobre notação (para não confundir): p e q são proposições quaisquer; \rightarrow é implicação, \vee é disjunção (ou), \neg é negação e \wedge é conjunção (e). A estratégia será transformar a fórmula passo a passo usando equivalências clássicas bem conhecidas (definição de implicação, De Morgan, dupla negação, leis distributivas/absortivas) até obter p\vee q.

Passo 2

Começamos reescrevendo a implicação externa usando a equivalência básica
A \rightarrow B \equiv \neg A \vee B,
válida em lógica proposicional clássica. Aplicando com A \equiv (p\rightarrow q) e B\equiv q, obtemos
(p\rightarrow q)\rightarrow q \equiv \neg(p\rightarrow q)\vee q.
Explicação curta do motivo: dizer “se A então B” é o mesmo que “ou não A ou B”.

Passo 3

Agora reescrevemos a implicação interior p\rightarrow q pela mesma equivalência:
p\rightarrow q \equiv \neg p \vee q.
Substituindo na expressão do passo anterior temos
\neg(p\rightarrow q)\vee q \equiv \neg(\neg p \vee q)\vee q.
Aqui só aplicamos a mesma regra dentro do parêntese.

Passo 4

Aplicamos a Lei de De Morgan à negação da disjunção \neg(\neg p \vee q). A Lei de De Morgan diz
\neg(X\vee Y)\equiv \neg X \wedge \neg Y.
Logo
\neg(\neg p \vee q)\equiv \neg\neg p \wedge \neg q.
Usando dupla negação ( \neg\neg p \equiv p), isso vira
\neg(\neg p \vee q)\equiv p \wedge \neg q.
Substituindo de volta:
\neg(\neg p \vee q)\vee q \equiv (p\wedge \neg q)\vee q.

Passo 5

Agora simplificamos (p\wedge \neg q)\vee q. Existem duas maneiras de ver a equivalência; explico as duas brevemente:
Método direto (intuitivo): se q é verdadeira, então (p\wedge \neg q)\vee q é verdadeira (porque do segundo disjuntor q). Se q é falsa, então (p\wedge \neg q)\vee q reduz a p\wedge \text{(verdade)}, ou seja, a p. Portanto, em ambos os casos a expressão se comporta como p\vee q. Logo
(p\wedge \neg q)\vee q \equiv p\vee q.
Método algébrico (leis da álgebra booleana): aplicar distributividade inversa
(p\wedge \neg q)\vee q \equiv (p\vee q)\wedge(\neg q\vee q).
Mas \neg q\vee q é tautologia (sempre verdadeira), então o conector \wedge com tautologia deixa apenas p\vee q. Assim
(p\wedge \neg q)\vee q \equiv p\vee q.
Ambos os argumentos são dedutivos e válidos; portanto chegamos à equivalência desejada nesta etapa.

Passo 6

Concatenando as equivalências dos passos anteriores temos a cadeia
(p\rightarrow q)\rightarrow q \equiv \neg(p\rightarrow q)\vee q \equiv \neg(\neg p\vee q)\vee q \equiv (p\wedge \neg q)\vee q \equiv p\vee q.
Cada “ \equiv” acima é uma equivalência lógica válida (implicação como disjunção, De Morgan, dupla negação e simplificação/distributividade). Assim foi demonstrado, por transformação dedutiva, que as duas fórmulas são logicamente equivalentes.

Resposta

(p \rightarrow q) \rightarrow q \Leftrightarrow p \vee q

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