Use o método dedutivo para demonstrar
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
- Dado: a fórmula
. - Pedido: demonstrar por método dedutivo que
é logicamente equivalente a ; isto é, provar
Observação útil sobre notação (para não confundir):
e
são proposições quaisquer;
é implicação,
é disjunção (ou),
é negação e
é conjunção (e). A estratégia será transformar a fórmula passo a passo usando equivalências clássicas bem conhecidas (definição de implicação, De Morgan, dupla negação, leis distributivas/absortivas) até obter
.
Passo 2
Começamos reescrevendo a implicação externa usando a equivalência básica
válida em lógica proposicional clássica. Aplicando com
e
, obtemos
Explicação curta do motivo: dizer “se
então
” é o mesmo que “ou não
ou
”.
Passo 3
Agora reescrevemos a implicação interior
pela mesma equivalência:
Substituindo na expressão do passo anterior temos
Aqui só aplicamos a mesma regra dentro do parêntese.
Passo 4
Aplicamos a Lei de De Morgan à negação da disjunção
. A Lei de De Morgan diz
Logo
Usando dupla negação (
), isso vira
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora simplificamos
. Existem duas maneiras de ver a equivalência; explico as duas brevemente:
Método direto (intuitivo): se
é verdadeira, então
é verdadeira (porque do segundo disjuntor
). Se
é falsa, então
reduz a
, ou seja, a
. Portanto, em ambos os casos a expressão se comporta como
. Logo
Método algébrico (leis da álgebra booleana): aplicar distributividade inversa
Mas
é tautologia (sempre verdadeira), então o conector
com tautologia deixa apenas
. Assim
Ambos os argumentos são dedutivos e válidos; portanto chegamos à equivalência desejada nesta etapa.
Passo 6
Concatenando as equivalências dos passos anteriores temos a cadeia
Cada “
” acima é uma equivalência lógica válida (implicação como disjunção, De Morgan, dupla negação e simplificação/distributividade). Assim foi demonstrado, por transformação dedutiva, que as duas fórmulas são logicamente equivalentes.