Use o método dedutivo para demonstrar
(p \longrightarrow q) \wedge(p \rightarrow r) \Leftrightarrow p \rightarrow q \wedge r \quad

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Precisamos demonstrar a equivalência lógica entre as fórmulas
(p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r)
e
p \rightarrow (q \wedge r).
  • A pergunta é: provar por método dedutivo que as duas fórmulas são logicamente equivalentes, ou seja, mostrar ambas as implicações
(p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r)\;\Rightarrow\; p \rightarrow (q \wedge r)
e
p \rightarrow (q \wedge r)\;\Rightarrow\; (p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r).
  • Informações relevantes dadas: nada além das próprias fórmulas; posso assumir as regras usuais de dedução proposicional (Modus Ponens, introdução/eliminação de \wedge, introdução/eliminação de \rightarrow).

Passo 2

Breve explicação das regras que vou usar (de forma didática):
  • Modus Ponens (MP): se tenho \varphi e \varphi \rightarrow \psi, então posso inferir \psi. Ex.: de p e p\rightarrow q infero q.
  • Introdução de \wedge ( \wedge-intro): se tenho \varphi e tenho \psi, então posso concluir \varphi \wedge \psi.
  • Eliminação de \wedge ( \wedge-elim): de \varphi\wedge\psi posso obter \varphi (primeira conjunção) e também \psi (segunda).
  • Introdução de \rightarrow ( \rightarrow-intro): para provar \varphi\rightarrow\psi eu assumo provisoriamente \varphi e, a partir dessa suposição, demonstro \psi; então eu disco (retrato) a suposição e concluo \varphi\rightarrow\psi.
    Vou aplicar essas regras passo a passo para cada direção da equivalência.

Passo 3

Prova da implicação da esquerda para a direita:
Objetivo: mostrar que
(p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r)\;\Rightarrow\; p \rightarrow (q \wedge r).
  1. Suponha como hipótese (assuma) a fórmula
(p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r).
  1. Pela eliminação de \wedge extraio as duas partes:
p \rightarrow q
e
p \rightarrow r.
(Expliquei: de uma conjunção posso obter cada conjungido isoladamente.)
3) Para provar p \rightarrow (q \wedge r) uso a introdução de \rightarrow: faço uma sub-suposição adicional. Suponha provisoriamente
p.
  1. Aplicando Modus Ponens com a suposição p e a implicação p\rightarrow q obtenho
q.
  1. Aplicando Modus Ponens com a suposição p e a implicação p\rightarrow r obtenho
r.
  1. Agora, com q e r em mãos, uso a introdução de \wedge para formar
q \wedge r.
  1. Tendo derivado q \wedge r a partir da suposição p, posso agora aplicar a regra de introdução de \rightarrow (discharge da suposição p) e concluir
p \rightarrow (q \wedge r).
  1. Assim mostrei que a partir de (p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r) segue p \rightarrow (q \wedge r).

Passo 4

Prova da implicação da direita para a esquerda:
Objetivo: mostrar que
p \rightarrow (q \wedge r)\;\Rightarrow\; (p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r).
  1. Suponha como hipótese
p \rightarrow (q \wedge r).
  1. Quero obter a conjunção (p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r). Para isso vou provar separadamente p\rightarrow q e p\rightarrow r, e depois aplicar \wedge-intro.
  2. Provar p \rightarrow q:
    3.1) Assuma provisoriamente p.
    3.2) Da hipótese p \rightarrow (q \wedge r) e da suposição p, por Modus Ponens obtenho
q \wedge r.
3.3) Aplicando eliminação de \wedge em q\wedge r obtenho
q.
3.4) Assim, a partir da suposição p derivei q. Descarrego a suposição e concluo, por \rightarrow-intro:
p \rightarrow q.
  1. Provar p \rightarrow r (mesmo raciocínio):
    4.1) Assuma provisoriamente p.
    4.2) Da hipótese p \rightarrow (q \wedge r) e da suposição p obtenho por MP
q \wedge r.
4.3) Aplicando eliminação de \wedge obtenho
r.
4.4) Descarregando a suposição p, por \rightarrow-intro concluo
p \rightarrow r.
  1. Agora, tendo provado tanto p \rightarrow q quanto p \rightarrow r, aplico a introdução de \wedge para obter
(p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r).
  1. Assim mostrei que a partir de p \rightarrow (q \wedge r) segue (p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r).

Passo 5

Conclusão da equivalência:
  • Juntei as duas implicações:
(p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r)\;\Rightarrow\; p \rightarrow (q \wedge r)
e
p \rightarrow (q \wedge r)\;\Rightarrow\; (p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r).
  • Portanto as fórmulas são logicamente equivalentes; escrevemos a equivalência como
(p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r)\;\Leftrightarrow\; p \rightarrow (q \wedge r).

Resposta

(p \rightarrow q)\wedge (p \rightarrow r) \Leftrightarrow p \rightarrow (q \wedge r)

Exercícios relacionados