Use o método dedutivo para demonstrar
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Precisamos demonstrar a equivalência lógica entre as fórmulas
e
- A pergunta é: provar por método dedutivo que as duas fórmulas são logicamente equivalentes, ou seja, mostrar ambas as implicações
e
- Informações relevantes dadas: nada além das próprias fórmulas; posso assumir as regras usuais de dedução proposicional (Modus Ponens, introdução/eliminação de
, introdução/eliminação de ).
Passo 2
Breve explicação das regras que vou usar (de forma didática):
- Modus Ponens (MP): se tenho
e , então posso inferir . Ex.: de e infero . - Introdução de
( -intro): se tenho e tenho , então posso concluir . - Eliminação de
( -elim): de posso obter (primeira conjunção) e também (segunda). - Introdução de
( -intro): para provar eu assumo provisoriamente e, a partir dessa suposição, demonstro ; então eu disco (retrato) a suposição e concluo .
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada direção da equivalência.
Passo 3
Prova da implicação da esquerda para a direita:
Objetivo: mostrar que
Objetivo: mostrar que
- Suponha como hipótese (assuma) a fórmula
- Pela eliminação de
extraio as duas partes:
e
(Expliquei: de uma conjunção posso obter cada conjungido isoladamente.)
3) Para provar uso a introdução de
: faço uma sub-suposição adicional. Suponha provisoriamente
3) Para provar
- Aplicando Modus Ponens com a suposição
e a implicação obtenho
- Aplicando Modus Ponens com a suposição
e a implicação obtenho
- Agora, com
e em mãos, uso a introdução de para formar
- Tendo derivado
a partir da suposição , posso agora aplicar a regra de introdução de (discharge da suposição ) e concluir
- Assim mostrei que a partir de
segue .
Passo 4
Prova da implicação da direita para a esquerda:
Objetivo: mostrar que
Objetivo: mostrar que
- Suponha como hipótese
- Quero obter a conjunção
. Para isso vou provar separadamente e , e depois aplicar -intro. - Provar
:
3.1) Assuma provisoriamente.
3.2) Da hipótesee da suposição , por Modus Ponens obtenho
3.3) Aplicando eliminação de
em
obtenho
3.4) Assim, a partir da suposição
derivei
. Descarrego a suposição e concluo, por
-intro:
- Provar
(mesmo raciocínio):
4.1) Assuma provisoriamente.
4.2) Da hipótesee da suposição obtenho por MP
4.3) Aplicando eliminação de
obtenho
4.4) Descarregando a suposição
, por
-intro concluo
- Agora, tendo provado tanto
quanto , aplico a introdução de para obter
- Assim mostrei que a partir de
segue .
Passo 5
Conclusão da equivalência:
- Juntei as duas implicações:
e
- Portanto as fórmulas são logicamente equivalentes; escrevemos a equivalência como