Use o método dedutivo para demonstrar
Passo 1
O enunciado pede demonstrar por método dedutivo que a fórmula
é válida. Ou seja, mostrar que a fórmula
é logicamente equivalente a
. Informação dada: a própria fórmula a ser demonstrada. Objetivo: chegar à conclusão de que
e
são logicamente equivalentes, construindo uma prova dedutiva (provar as duas implicações necessárias para a bicondicional).
Passo 2
Primeira direção: provar que
Iremos assumir
e, a partir disso, deduzir
.
-
Assuma
. (Assunção temporária para prova condicional) -
Agora faça uma segunda assunção: assuma
. (Assunção para prova por contradição) -
Da assunção 1) e 2), por modus ponens (regra de eliminação da implicação), obtemos
.
-
Das assunções 2) e 3) temos simultaneamente
e , o que é uma contradição (denotada por ). Escrever isso como " e " ou como “ ”. -
Como assumir
levou a uma contradição, por introdução de negação dupla (ou por regra de negação) inferimos . Formalmente: se assumir conduz a , então inferimos ; aqui é , logo inferimos , isto é, . -
Em lógica clássica aplicamos eliminação da dupla negação para obter
a partir de .
Logo, a partir da hipótese
deduzimos
. Em notação de dedução:
.
(Explicação rápida das regras usadas: modus ponens = de
e
inferir
. Introdução de negação dupla / prova por contradição = se assumir
leva a
, então inferir
. Eliminação da dupla negação = de
obter
— válida na lógica clássica.)
Passo 3
Comentário didático curto sobre o raciocínio acima (para fixar): a ideia é que, se
for verdadeira e se por acaso
também fosse verdadeira, então aplicaríamos a implicação e obteríamos
simultaneamente com
— contradição. Portanto
não pode ser verdadeira; daí
e, na lógica clássica,
. É a clássica estratégia de reduzir ao absurdo para forçar
.
Passo 4
Segunda direção: provar que
Isto é imediato, mas vamos escrever passo a passo formalmente.
-
Assuma
. (Assunção temporária) -
Para provar
por introdução de implicação, assuma temporariamente a antecedente . -
Das assunções nessa subprova, já temos
(pela assunção 1)). Então, dentro da subprova, temos . -
Dispensando a assunção
e aplicando a regra de introdução da implicação: como a suposição levou a , concluímos . -
Finalmente, dispensa-se a assunção inicial
se quisermos apenas a implicação global; mas o que importa é que a partir de construímos . Em notação: .
(Explicação das regras: introdução da implicação = se, assumindo
, é possível provar
, então inferimos
. Aqui
é
e
é
.)
Passo 5
Agora que temos as duas implicações julgadas dedutivamente:
podemos formar a bicondicional. A regra de introdução da bicondicional diz que, se de
se deduz
e de
se deduz
, então podemos inferir
. Aplicando aqui com
sendo
e
sendo
, obtemos
Passo 6
Resumo final do pensamento (didático e encorajador): a prova mostra que a fórmula
é equivalente a
— intuitivamente porque se
fosse verdadeira a implicação força
e assim gera contradição, obrigando
a ser verdadeiro; e se
já é verdadeiro, então a implicação
é trivialmente verdadeira. Portanto as duas fórmulas se implicam mutuamente, o que é exatamente a bicondicional pedida.