Use o método dedutivo para demonstrar
\sim p \longrightarrow p \Longleftrightarrow p \quad

Passo 1

O enunciado pede demonstrar por método dedutivo que a fórmula
\neg p \rightarrow p \Longleftrightarrow p
é válida. Ou seja, mostrar que a fórmula \neg p \rightarrow p é logicamente equivalente a p. Informação dada: a própria fórmula a ser demonstrada. Objetivo: chegar à conclusão de que \neg p \rightarrow p e p são logicamente equivalentes, construindo uma prova dedutiva (provar as duas implicações necessárias para a bicondicional).

Passo 2

Primeira direção: provar que
\neg p \rightarrow p \;\vdash\; p.
Iremos assumir \neg p \rightarrow p e, a partir disso, deduzir p.
  1. Assuma \neg p \rightarrow p. (Assunção temporária para prova condicional)
  2. Agora faça uma segunda assunção: assuma \neg p. (Assunção para prova por contradição)
  3. Da assunção 1) e 2), por modus ponens (regra de eliminação da implicação), obtemos p.
\text{De }(\neg p \rightarrow p)\text{ e }(\neg p)\text{, inferir }p.
  1. Das assunções 2) e 3) temos simultaneamente \neg p e p, o que é uma contradição (denotada por \bot). Escrever isso como " \neg p e p" ou como “ \bot”.
  2. Como assumir \neg p levou a uma contradição, por introdução de negação dupla (ou por regra de negação) inferimos \neg\neg p. Formalmente: se assumir A conduz a \bot, então inferimos \neg A; aqui A é \neg p, logo inferimos \neg(\neg p), isto é, \neg\neg p.
  3. Em lógica clássica aplicamos eliminação da dupla negação para obter p a partir de \neg\neg p.
Logo, a partir da hipótese \neg p \rightarrow p deduzimos p. Em notação de dedução: \neg p \rightarrow p \;\vdash\; p.
(Explicação rápida das regras usadas: modus ponens = de A e A\rightarrow B inferir B. Introdução de negação dupla / prova por contradição = se assumir A leva a \bot, então inferir \neg A. Eliminação da dupla negação = de \neg\neg A obter A — válida na lógica clássica.)

Passo 3

Comentário didático curto sobre o raciocínio acima (para fixar): a ideia é que, se \neg p \rightarrow p for verdadeira e se por acaso \neg p também fosse verdadeira, então aplicaríamos a implicação e obteríamos p simultaneamente com \neg p — contradição. Portanto \neg p não pode ser verdadeira; daí \neg\neg p e, na lógica clássica, p. É a clássica estratégia de reduzir ao absurdo para forçar p.

Passo 4

Segunda direção: provar que
p \;\vdash\; \neg p \rightarrow p.
Isto é imediato, mas vamos escrever passo a passo formalmente.
  1. Assuma p. (Assunção temporária)
  2. Para provar \neg p \rightarrow p por introdução de implicação, assuma temporariamente a antecedente \neg p.
  3. Das assunções nessa subprova, já temos p (pela assunção 1)). Então, dentro da subprova, temos p.
  4. Dispensando a assunção \neg p e aplicando a regra de introdução da implicação: como a suposição \neg p levou a p, concluímos \neg p \rightarrow p.
  5. Finalmente, dispensa-se a assunção inicial p se quisermos apenas a implicação global; mas o que importa é que a partir de p construímos \neg p \rightarrow p. Em notação: p \;\vdash\; \neg p \rightarrow p.
(Explicação das regras: introdução da implicação = se, assumindo A, é possível provar B, então inferimos A\rightarrow B. Aqui A é \neg p e B é p.)

Passo 5

Agora que temos as duas implicações julgadas dedutivamente:
\neg p \rightarrow p \;\vdash\; p \qquad\text{e}\qquad p \;\vdash\; \neg p \rightarrow p,
podemos formar a bicondicional. A regra de introdução da bicondicional diz que, se de X se deduz Y e de Y se deduz X, então podemos inferir X \Longleftrightarrow Y. Aplicando aqui com X sendo \neg p \rightarrow p e Y sendo p, obtemos
\vdash\; (\neg p \rightarrow p) \Longleftrightarrow p.

Passo 6

Resumo final do pensamento (didático e encorajador): a prova mostra que a fórmula \neg p \rightarrow p é equivalente a p — intuitivamente porque se \neg p fosse verdadeira a implicação força p e assim gera contradição, obrigando p a ser verdadeiro; e se p já é verdadeiro, então a implicação \neg p \rightarrow p é trivialmente verdadeira. Portanto as duas fórmulas se implicam mutuamente, o que é exatamente a bicondicional pedida.

Resposta

\neg p \rightarrow p \Longleftrightarrow p

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