Use o método de eliminação de Gauss ou o de Gauss-Jordan (o que você preferir) para resolver os seguintes sistemas de equações lineares. Indique claramente cada operação efetuada nas linhas da matriz aumentada de cada sistema.
\left\{\begin{array}{r}2 x+2 y+2 z+3 w=3 \\\ x+y+z+w=1 \\\\ 3 x+3 y+3 z+2 w=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema por eliminação de Gauss–Jordan, um tema de Álgebra Linear que consiste em aplicar operações elementares nas linhas da matriz aumentada para chegar à forma reduzida, de onde extraímos a solução geral. Vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada e usar troca e combinação de linhas.

Passo 2

Começamos escrevendo a matriz aumentada do sistema
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 2 & 2 & 3 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 3 & 3 & 3 & 2 & 2 \end{array}\right]
Para ter um pivot 1 na primeira linha, trocamos
R_1 \leftrightarrow R_2.

Passo 3

Após a troca, a matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2 & 3 & 3\\\\ 3 & 3 & 3 & 2 & 2 \end{array}\right]
Eliminamos abaixo do pivot em R_1 fazendo
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.

Passo 4

A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right]
Para zerar o -1 em R_3, fazemos
R_3 \leftarrow R_3 + R_2,
ficando
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Em seguida, para reduzir completamente, eliminamos o 1 em R_1 na coluna de w:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,
obtendo a forma reduzida
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Da forma reduzida vemos pivôs nas colunas de x e w. As variáveis y e z são livres. Da primeira linha:
x + y + z = 0,
da segunda:
w = 1.
Definindo y = s e z = t s,t\in\mathbb{R}, temos
x = -\,y - z = -s - t,\quad w = 1.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z,w) = \bigl(-s - t,\;s,\;t,\;1\bigr), \qquad s,t\in\mathbb{R}.

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