Use o método de eliminação de Gauss ou o de Gauss-Jordan (o que você preferir) para resolver os seguintes sistemas de equações lineares. Indique claramente cada operação efetuada nas linhas da matriz aumentada de cada sistema.
\left\{\begin{array}{r}2 x+3 y+z=0 \\\ x+y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de duas equações e três incógnitas
\begin{cases} 2x + 3y + z = 0,\\\ x + y + z = 0, \end{cases}
usando eliminação de Gauss. Como há mais incógnitas que equações, deveremos encontrar uma família de soluções em função de um parâmetro.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada correspondente, na ordem de colunas (x,y,z) e termo independente:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & \vrule & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & \vrule & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para ter pivô igual a 1 na primeira linha, trocamos as linhas R_1 e R_2:
R_1 \leftrightarrow R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vrule & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & \vrule & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos a entrada abaixo do pivô (coluna x) na segunda linha:
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vrule & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & \vrule & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora a segunda linha indica
0\cdot x + 1\cdot y -1\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = z.

Passo 6

A primeira linha indica
1\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y + z = 0.
Substituindo y = z, temos
x + z + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2z.

Resposta

A solução geral, tomando z = t como parâmetro real, é
(x,y,z) = (-2t,\;t,\;t),
com t\in\mathbb{R}.

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