Use o método da equação auxiliar para determinar a solução geral da EDO y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'' - 9y' = 0
e pede para determinar a solução geral y(x). Informações úteis que o enunciado dá:
  • É uma equação envolvendo y, sua primeira derivada y' e sua segunda derivada y''.
  • Não há termo independente (lado direito é zero), ou seja, é homogênea.
  • Queremos a solução geral, com constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia do método da equação auxiliar (explicação didática): a técnica parte da tentativa de soluções da forma exponencial y(x)=e^{r x}, porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial — isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Vou mostrar passo a passo por que isso funciona e como usar.

Passo 3

Tomemos a tentativa y(x)=e^{r x} com r sendo um número (possivelmente complexo). Calculemos as derivadas:
y'(x)=r e^{r x}, \qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Essas expressões são simples e substituem bem na equação diferencial porque e^{r x} nunca é identicamente zero.

Passo 4

Substituindo y, y' e y'' na equação original obtemos:
r^{2} e^{r x} - 9 r e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir toda a equação por e^{r x} e ficar apenas com a parte algébrica:
r^{2} - 9r = 0.
Essa é a chamada equação auxiliar (ou característica).

Passo 5

Resolver a equação auxiliar:
r^{2} - 9r = r(r-9)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=9.

Passo 6

Interpretação das raízes e construção da solução geral: como as duas raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}.
Substituindo r_{1}=0 e r_{2}=9:
y(x)=C_{1} e^{0\cdot x} + C_{2} e^{9x} = C_{1} + C_{2} e^{9x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (dependendo das condições iniciais, se houver).

Passo 7

Verificação rápida (para ficar seguro): calcule y' e y'' da solução encontrada e substitua na EDO.
y(x)=C_{1}+C_{2} e^{9x},
y'(x)=0 + 9C_{2} e^{9x}=9C_{2} e^{9x},
y''(x)=9\cdot 9 C_{2} e^{9x}=81 C_{2} e^{9x}.
Agora o lado esquerdo da EDO:
y''-9y' = 81 C_{2} e^{9x} - 9(9 C_{2} e^{9x}) = 81 C_{2} e^{9x} - 81 C_{2} e^{9x} = 0,
portanto a solução satisfaz a equação.

Passo 8

Comentário didático sobre casos gerais (útil para a prova):
  • Se a equação auxiliar tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é y=C_{1} e^{r_{1}x}+C_{2} e^{r_{2}x}.
  • Se houver raiz real dupla r (multiplicidade 2), a solução é y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r x}.
  • Se as raízes forem complexas conjugadas a\pm bi, a solução é y=e^{a x}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big).
    Guardar essas três fórmulas te salva tempo na prova.

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (modo turbo): escrever a equação auxiliar, fatorar/achar raízes, montar a solução com as regras acima. Respira fundo — foi só álgebra!

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{9x}

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