Use o método da equação auxiliar para determinar a solução geral da EDO
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para determinar a solução geral
. Informações úteis que o enunciado dá:
- É uma equação envolvendo
, sua primeira derivada e sua segunda derivada . - Não há termo independente (lado direito é zero), ou seja, é homogênea.
- Queremos a solução geral, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia do método da equação auxiliar (explicação didática): a técnica parte da tentativa de soluções da forma exponencial
, porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial — isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Vou mostrar passo a passo por que isso funciona e como usar.
Passo 3
Tomemos a tentativa
com
sendo um número (possivelmente complexo). Calculemos as derivadas:
Essas expressões são simples e substituem bem na equação diferencial porque
nunca é identicamente zero.
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação original obtemos:
Como
para todo
, podemos dividir toda a equação por
e ficar apenas com a parte algébrica:
Essa é a chamada equação auxiliar (ou característica).
Passo 5
Resolver a equação auxiliar:
Portanto as raízes são
Passo 6
Interpretação das raízes e construção da solução geral: como as duas raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
Substituindo
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias (dependendo das condições iniciais, se houver).
Passo 7
Verificação rápida (para ficar seguro): calcule
e
da solução encontrada e substitua na EDO.
Agora o lado esquerdo da EDO:
portanto a solução satisfaz a equação.
Passo 8
Comentário didático sobre casos gerais (útil para a prova):
- Se a equação auxiliar tem duas raízes reais distintas
e , a solução geral é . - Se houver raiz real dupla
(multiplicidade 2), a solução é . - Se as raízes forem complexas conjugadas
, a solução é .
Guardar essas três fórmulas te salva tempo na prova.
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (modo turbo): escrever a equação auxiliar, fatorar/achar raízes, montar a solução com as regras acima. Respira fundo — foi só álgebra!