Resolva as integrais triplas:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} x \cos (y) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} x\cos(y)\,dz\,dx\,dy.
Informações fornecidas:
  • A função integranda é \,x\cos(y)\,.
  • Os limites são:
    • para z: 0 a x^{2};
    • para x: 0 a 1;
    • para y: 0 a \tfrac{\pi}{4}.
      A tarefa é avaliar essa integral e obter um número.

Passo 2

Primeiro olhamos a integral interna em z:
\int_{0}^{x^{2}} x\cos(y)\,dz.
Note que x\cos(y) não depende de z. Sempre que uma função f(x,y) é independente da variável de integração z, vale a propriedade
\int_{a}^{b} f(x,y)\,dz = f(x,y)\,(b-a).
Aplicando aqui, com a=0 e b=x^{2},
\int_{0}^{x^{2}} x\cos(y)\,dz = x\cos(y)\cdot\bigl(x^{2}-0\bigr)=x^{3}\cos(y).

Passo 3

Agora a integral fica dupla:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{1} x^{3}\cos(y)\,dx\,dy.
Vamos integrar primeiro em x. Lembrete prático: a primitiva de \,x^{n}\, é \,\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\, para n\neq-1. Aqui n=3, então
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{1}{4}.
Como \cos(y) é constante em relação a x, a integral em x
\int_{0}^{1} x^{3}\cos(y)\,dx = \cos(y)\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cos(y).

Passo 4

Agora resta integrar em y:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4}\cos(y)\,dy = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(y)\,dy.
A primitiva de \cos(y) é \sin(y). Portanto
\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(y)\,dy = \frac{1}{4}\left.\sin(y)\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{4}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{4})-\sin(0)\bigr).
Sabendo que \sin(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(0)=0, obtemos
\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}.

Passo 5

Resumo didático rápido (dicas para a prova):
  • Sempre verifique se a integranda depende da variável de integração atual; se não depender, a integral sobre essa variável é a função multiplicada pelo comprimento do intervalo.
  • Use \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para polinômios em x.
  • Use \int \cos(y)\,dy=\sin(y).
  • Fazer as integrais na ordem dada aqui foi direto porque a dependência era simples; se fosse mais complicado, às vezes trocar a ordem (quando possível) simplifica.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{8}

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