Seja
. Encontre uma equação da reta tangente à curva
no ponto com coordenada
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede: encontrar uma equação da reta tangente à curva
no ponto cuja abscissa é
.
Informações dadas:
- A função é dada por uma integral com limite superior dependente de
: o limite superior é . - O integrando é
. - Queremos a reta tangente no ponto com
. Ou seja, precisamos do ponto e da inclinação .
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicada com calma):
Seja uma função definida por
Seja uma função definida por
onde
é constante,
é uma função de
e
é contínua. A derivada de
em relação a
é dada por
O que isso diz, em palavras: a derivada de uma integral cujo limite superior depende de
é o integrando avaliado no limite superior vezes a derivada desse limite superior (é uma combinação do Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia).
Exemplo rápido para fixar a ideia: se
, então, seguindo a regra acima,
Aqui
,
e
.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função
:
- Identificamos
e . - Então a derivada é
Calcule a derivada do limite superior:
Portanto
Passo 4
Agora calcule
(o valor da função no ponto):
Uma propriedade básica de integrais: a integral de um intervalo de comprimento zero é zero. Logo
Passo 5
Calcule a inclinação
substituindo
em
:
Passo 6
Fórmula da reta tangente no ponto
: a equação da reta tangente a
em
é
Aqui
,
e
. Substituindo:
Opcionalmente expandindo: