Seja f(x)=\int_{2}^{x^{2}+1} e^{t^{2}} d t. Encontre uma equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto com coordenada x=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\int_{2}^{x^{2}+1} e^{t^{2}}\,dt
e pede: encontrar uma equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto cuja abscissa é x=1.
Informações dadas:
  • A função é dada por uma integral com limite superior dependente de x: o limite superior é x^{2}+1.
  • O integrando é e^{t^{2}}.
  • Queremos a reta tangente no ponto com x=1. Ou seja, precisamos do ponto \bigl(1,f(1)\bigr) e da inclinação f'(1).

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicada com calma):
Seja uma função definida por
F(x)=\int_{a}^{g(x)} h(t)\,dt,
onde a é constante, g(x) é uma função de x e h(t) é contínua. A derivada de F em relação a x é dada por
F'(x)=h\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
O que isso diz, em palavras: a derivada de uma integral cujo limite superior depende de x é o integrando avaliado no limite superior vezes a derivada desse limite superior (é uma combinação do Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia).
Exemplo rápido para fixar a ideia: se G(x)=\int_{0}^{x^{3}} \sin t\,dt, então, seguindo a regra acima,
G'(x)=\sin\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}.
Aqui h(t)=\sin t, g(x)=x^{3} e g'(x)=3x^{2}.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função f:
  • Identificamos h(t)=e^{t^{2}} e g(x)=x^{2}+1.
  • Então a derivada é
f'(x)=e^{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr).
Calcule a derivada do limite superior:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x.
Portanto
f'(x)=2x\,e^{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.

Passo 4

Agora calcule f(1) (o valor da função no ponto):
f(1)=\int_{2}^{1^{2}+1} e^{t^{2}}\,dt=\int_{2}^{2} e^{t^{2}}\,dt.
Uma propriedade básica de integrais: a integral de um intervalo de comprimento zero é zero. Logo
f(1)=0.

Passo 5

Calcule a inclinação f'(1) substituindo x=1 em f'(x):
f'(1)=2\cdot 1\cdot e^{\bigl(1^{2}+1\bigr)^{2}}=2e^{(2)^{2}}=2e^{4}.

Passo 6

Fórmula da reta tangente no ponto x_{0}: a equação da reta tangente a y=f(x) em x_{0} é
y=f(x_{0})+f'(x_{0})\bigl(x-x_{0}\bigr).
Aqui x_{0}=1, f(1)=0 e f'(1)=2e^{4}. Substituindo:
y=0+2e^{4}\bigl(x-1\bigr).
Opcionalmente expandindo:
y=2e^{4}x-2e^{4}.

Resposta

y=2e^{4}\bigl(x-1\bigr)

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