Use um método de sua escolha para encontrar a solução particular nos seguintes PVI’s:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 x e^{2 x}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
y''-2y'-3y=3x e^{2x}, \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais dadas.
Informações relevantes (todas extraídas do enunciado):
  • A equação diferencial é de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é 3x e^{2x}.
  • As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=0.

Passo 2

Primeiro passo útil quando se resolve um PVI linear com coeficientes constantes: encontrar a solução geral da equação homogênea associada (a parte complementar). Escreve-se a equação homogênea substituindo o lado direito por zero:
y''-2y'-3y=0.
Para resolver essa homogênea, usa-se a ansatz y=e^{r x}. Substituindo na equação obtém-se a equação característica (uma equação algébrica para r):
r^{2}-2r-3=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=-1. Cada raiz distinta produz uma solução exponencial independente; assim a solução geral da homogênea (solução complementar) é
y_{c}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que depois determinaremos com as condições iniciais.
Breve explicação do porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, testar e^{r x} transforma a ODE em um polinômio (a característica). Raízes reais distintas dão exponenciais independentes.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa
y''-2y'-3y=3x e^{2x}.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados (porque o termo não-homogêneo é produto de um polinômio 3x por uma exponencial e^{2x}, caso padrão para esse método). Regra prática para construir o palpite (ansatz):
  • Para um termo do tipo P(x)e^{\alpha x}, onde P(x) é um polinômio de grau n, tenta-se um y_{p}(x)=e^{\alpha x}Q(x) com Q(x) polinomial de grau n.
  • Se \alpha for raiz da equação característica de multiplicidade m, multiplica-se a ansatz por x^{m}. Aqui \alpha=2 não é raiz da característica (raízes foram 3 e -1), logo multiplicação por x^{m} não é necessária.
Como o lado direito é 3x e^{2x} (polinômio de grau 1 vezes e^{2x}), tomo o palpite
y_{p}(x)=e^{2x}(A x + B),
onde A e B são constantes a determinar. Isso é natural: Q(x)=Ax+B tem grau 1, mesmo grau do polinômio do RHS.

Passo 4

Agora calculamos y_{p}' e y_{p}'' passo a passo (usando a regra do produto). Seja u(x)=Ax+B e v(x)=e^{2x}. Então y_{p}=v\cdot u.
Derivada primeira:
y_{p}' = (e^{2x})'(Ax+B) + e^{2x}(Ax+B)'.
Como (e^{2x})'=2e^{2x} e (Ax+B)'=A, obtemos
y_{p}' = 2e^{2x}(Ax+B) + e^{2x}A = e^{2x}\big(2Ax + 2B + A\big).
Derivada segunda (deriva-se y_{p}' novamente):
y_{p}'' = (e^{2x})'\big(2Ax + 2B + A\big) + e^{2x}\big(2A\big).
Usando (e^{2x})'=2e^{2x}, fica
y_{p}'' = 2e^{2x}\big(2Ax + 2B + A\big) + 2A e^{2x} = e^{2x}\big(4Ax + 4B + 4A\big).
Resumo das derivadas obtidas:
y_{p}=e^{2x}(Ax+B), \qquad y_{p}'=e^{2x}\big(2Ax + 2B + A\big), \qquad y_{p}''=e^{2x}\big(4Ax + 4B + 4A\big).

Passo 5

Substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação diferencial para determinar A e B. O lado esquerdo L[y]=y''-2y'-3y aplicado a y_{p}
\begin{aligned} L[y_{p}] &= y_{p}'' - 2y_{p}' - 3y_{p} \\\ &= e^{2x}\big(4Ax + 4B + 4A\big) -2 e^{2x}\big(2Ax + 2B + A\big) -3 e^{2x}\big(Ax + B\big). \end{aligned}
Fatorando e^{2x}:
L[y_{p}] = e^{2x}\Big[(4Ax + 4B + 4A) -2(2Ax + 2B + A) -3(Ax + B)\Big].
Calculamos o conteúdo dos colchetes passo a passo:
  • Termos em x: 4A x -4A x -3A x = -3A x.
  • Termos constantes com B: 4B -4B -3B = -3B.
  • Termos constantes com A: 4A -2A = 2A.
Logo
L[y_{p}] = e^{2x}\big(-3A x + (2A -3B)\big).
Devemos ter L[y_{p}]= RHS =3x e^{2x}. Assim, as funções multiplicando e^{2x} devem coincidir, isto é:
-3A x + (2A -3B) = 3x + 0.
Igualando coeficientes de x e termos constantes obtemos o sistema:
-3A = 3, \qquad 2A -3B = 0.
Da primeira equação vem A=-1. Substituindo na segunda:
2(-1)-3B=0 \quad\Rightarrow\quad -2-3B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{2}{3}.
Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=e^{2x}\big(-x - \tfrac{2}{3}\big).

Passo 6

Agora a solução geral da equação completa é soma da complementar com a particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}+e^{2x}\big(-x - \tfrac{2}{3}\big).
Ainda faltam C_{1} e C_{2}, que são ajustadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=1\). Avaliando \(y(0)\): \[y(0)=C_{1}+C_{2}+e^{0}\big(0 - \tfrac{2}{3}\big)=C_{1}+C_{2}-\tfrac{2}{3}.
Como y(0)=1, obtém-se
C_{1}+C_{2}-\tfrac{2}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}.
Agora calculamos y'(x) para aplicar y'(0)=0. Derivando a solução geral:
y'(x)=3C_{1}e^{3x}-C_{2}e^{-x}+ \text{(derivada de }y_{p}\text{)}.
Mas já tínhamos a expressão geral para y_{p}' com A=-1 e B=-\tfrac{2}{3}:
y_{p}'(x)=e^{2x}\big(2A x + 2B + A\big).
Substituindo A=-1, B=-\tfrac{2}{3}:
2A x + 2B + A = -2x -\tfrac{4}{3} -1 = -2x -\tfrac{7}{3},
logo
y_{p}'(x)=e^{2x}\big(-2x - \tfrac{7}{3}\big).
Então
y'(x)=3C_{1}e^{3x}-C_{2}e^{-x}+e^{2x}\big(-2x - \tfrac{7}{3}\big).
Avalia em x=0:
y'(0)=3C_{1}-C_{2}+ \big(-\tfrac{7}{3}\big).
Como y'(0)=0, obtemos
3C_{1}-C_{2}-\tfrac{7}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{7}{3}.
Agora resolvemos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3},\\[4pt] 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{7}{3}. \end{cases}
Somando as duas equações:
4C_{1}=\tfrac{12}{3}=4 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.
Então (C_{2}=\tfrac{5}{3}-C_{1}=\tfrac{5}{3}-1=\tfrac{2}{3}].]

Passo 8

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=\tfrac{2}{3} na solução geral, obtemos a solução particular do PVI (isto é, a solução que satisfaz as condições iniciais):
y(x)=e^{3x}+\tfrac{2}{3}e^{-x}+e^{2x}\big(-x - \tfrac{2}{3}\big).
Podemos reescrever de forma mais explícita:
y(x)=e^{3x}+\tfrac{2}{3}e^{-x}-x e^{2x}-\tfrac{2}{3}e^{2x}.

Resposta

y(x)=e^{3x}+\tfrac{2}{3}e^{-x}-x e^{2x}-\tfrac{2}{3}e^{2x}.

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