Use um método de sua escolha para encontrar a solução particular nos seguintes PVI’s:
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais dadas.
Informações relevantes (todas extraídas do enunciado):
Informações relevantes (todas extraídas do enunciado):
- A equação diferencial é de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - As condições iniciais são
e .
Passo 2
Primeiro passo útil quando se resolve um PVI linear com coeficientes constantes: encontrar a solução geral da equação homogênea associada (a parte complementar). Escreve-se a equação homogênea substituindo o lado direito por zero:
Para resolver essa homogênea, usa-se a ansatz
. Substituindo na equação obtém-se a equação característica (uma equação algébrica para
):
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
portanto as raízes são
e
. Cada raiz distinta produz uma solução exponencial independente; assim a solução geral da homogênea (solução complementar) é
onde
e
são constantes arbitrárias que depois determinaremos com as condições iniciais.
Breve explicação do porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, testar transforma a ODE em um polinômio (a característica). Raízes reais distintas dão exponenciais independentes.
Breve explicação do porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, testar
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados (porque o termo não-homogêneo é produto de um polinômio
por uma exponencial
, caso padrão para esse método). Regra prática para construir o palpite (ansatz):
- Para um termo do tipo
, onde é um polinômio de grau , tenta-se um com polinomial de grau . - Se
for raiz da equação característica de multiplicidade , multiplica-se a ansatz por . Aqui não é raiz da característica (raízes foram e ), logo multiplicação por não é necessária.
Como o lado direito é
(polinômio de grau
vezes
), tomo o palpite
onde
e
são constantes a determinar. Isso é natural:
tem grau
, mesmo grau do polinômio do RHS.
Passo 4
Agora calculamos
e
passo a passo (usando a regra do produto). Seja
e
. Então
.
Derivada primeira:
Como
e
, obtemos
Derivada segunda (deriva-se
novamente):
Usando
, fica
Resumo das derivadas obtidas:
Passo 5
Substituímos
na equação diferencial para determinar
e
. O lado esquerdo
aplicado a
dá
Fatorando
:
Calculamos o conteúdo dos colchetes passo a passo:
- Termos em
: . - Termos constantes com
: . - Termos constantes com
: .
Logo
Devemos ter
RHS
. Assim, as funções multiplicando
devem coincidir, isto é:
Igualando coeficientes de
e termos constantes obtemos o sistema:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Portanto a solução particular encontrada é
Passo 6
Agora a solução geral da equação completa é soma da complementar com a particular:
Ainda faltam
e
, que são ajustadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro
Como
, obtém-se
Agora calculamos
para aplicar
. Derivando a solução geral:
Mas já tínhamos a expressão geral para
com
e
:
Substituindo
,
:
logo
Então
Avalia em
:
Como
, obtemos
Agora resolvemos o sistema linear para
:
Somando as duas equações:
Então (C_{2}=\tfrac{5}{3}-C_{1}=\tfrac{5}{3}-1=\tfrac{2}{3}].]
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do PVI (isto é, a solução que satisfaz as condições iniciais):
Podemos reescrever de forma mais explícita: