Com o Método de Variação de Parâmetros (MVP), encontre as soluções gerais das seguintes EDO’s:
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=e^{-x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem não-homogênea
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y = e^{-x}\sin x.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, termo fonte g(x)=e^{-x}\sin x.
  • Queremos a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é a solução geral da homogênea e y_p é uma particular (usaremos o Método de Variação de Parâmetros).
    Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Primeiro resolvo a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=0.
Assumo y=e^{rx}. A equação característica é
r^3-r^2+r-1=0.
Faço fatoração por agrupamento:
r^3-r^2+r-1 = r^2(r-1)+1(r-1)=(r^2+1)(r-1).
Logo as raízes são r=1 e r=\pm i. Assim uma base de soluções fundamentais é
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=\cos x,\qquad y_3(x)=\sin x.
A solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2\cos x + C_3\sin x,
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplico o Método de Variação de Parâmetros para obter uma solução particular. Faço a ansatz
y_p(x)=u_1(x)e^{x}+u_2(x)\cos x+u_3(x)\sin x,
onde u_1,u_2,u_3\) são funções a determinar. Para fixar as funções imposto as condições padrão que simplificam derivadas: \[\begin{cases} u_1'(x)e^{x}+u_2'(x)\cos x+u_3'(x)\sin x=0,\\[4pt] u_1'(x)e^{x}+u_2'(x)(-\,\sin x)+u_3'(x)\cos x=0,\\[4pt] u_1'(x)e^{x}+u_2'(x)(-\,\cos x)+u_3'(x)(-\,\sin x)=g(x), \end{cases}
onde g(x)\] é o termo do lado direito da EDO original, ou seja \[g(x)=e^{-x}\sin x.\] Essas três equações lineares permitem resolver \(u_1',u_2',u_3'.]

Passo 4

Escrevo o sistema matricial \mathbf{Y}\,\mathbf{u}'=\mathbf{b}, com
\mathbf{Y}=\begin{pmatrix} e^{x} & \cos x & \sin x\\[4pt] e^{x} & -\sin x & \cos x\\[4pt] e^{x} & -\cos x & -\sin x \end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}'=\begin{pmatrix}u_1'\\[2pt]u_2'\\[2pt]u_3'\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]g(x)\end{pmatrix}.
Vou usar Cramer: preciso do Wronskiano W=\det\mathbf{Y}. Calculo determinante (faço uma expansão cuidadosa):
W=\det\begin{pmatrix} e^{x} & \cos x & \sin x\\[4pt] e^{x} & -\sin x & \cos x\\[4pt] e^{x} & -\cos x & -\sin x \end{pmatrix}.
Expandindo e simplificando (detalhe: agrupei termos e usei \sin^2x+\cos^2x=1) obtém-se
W=2e^{x}.
Portanto W\neq0 e o sistema tem solução única para u_1',u_2',u_3'.]

Passo 5

Aplico Cramer: u_i'=\dfrac{W_i}{W}, onde W_i é o determinante da matriz obtida substituindo a i-ésima coluna por \mathbf{b}.
  • Para u_1' substituo a primeira coluna por (0,0,g). Expandindo por essa coluna (apenas a terceira linha contribui) dá
W_1 = g(x)\cdot\det\begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\[2pt]-\sin x & \cos x\end{pmatrix} = g(x)\cdot(\cos^2x+\sin^2x)=g(x).
Logo
u_1'(x)=\frac{W_1}{W}=\frac{g(x)}{2e^{x}}=\frac{e^{-x}\sin x}{2e^{x}}=\frac{1}{2}e^{-2x}\sin x.
  • Para u_2' substituo a segunda coluna por (0,0,g). Expandindo pela segunda coluna (única contribuição na terceira linha) obtém-se
W_2 = -g(x)\,e^{x}(\cos x-\sin x),
portanto
u_2'(x)=\frac{W_2}{W} = -\frac{e^{x}g(x)(\cos x-\sin x)}{2e^{x}} = -\frac{1}{2}e^{-x}\sin x(\cos x-\sin x).
  • Para u_3' substituo a terceira coluna por (0,0,g). Expandindo pela terceira coluna dá
W_3 = -g(x)\,e^{x}(\sin x+\cos x),
logo
u_3'(x)=\frac{W_3}{W} = -\frac{1}{2}e^{-x}\sin x(\sin x+\cos x).
Resumo das derivadas:
u_1'(x)=\tfrac{1}{2}e^{-2x}\sin x,\qquad u_2'(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-x}\sin x(\cos x-\sin x),\qquad u_3'(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-x}\sin x(\sin x+\cos x).]

Passo 6

Agora integro cada u_i'. Começo por u_1:
u_1(x)=\tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\sin x\,dx.
Uso a fórmula padrão \displaystyle\int e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,dx = e^{\alpha x}\frac{\alpha\sin(\beta x)-\beta\cos(\beta x)}{\alpha^2+\beta^2}+C. Com \alpha=-2,\beta=1 vem
\int e^{-2x}\sin x\,dx = e^{-2x}\frac{-2\sin x -\cos x}{5}+C.
Portanto, escolhendo a constante de integração zero (constantes serão absorvidas em y_h),
u_1(x)=\frac{1}{2}\cdot e^{-2x}\frac{-2\sin x -\cos x}{5} = -\frac{e^{-2x}}{10}\big(2\sin x+\cos x\big).

Passo 7

Integro u_2' e u_3'. Para facilitar uso identidades de ângulo duplo:
\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin2x,\qquad \sin^2x=\tfrac{1}{2}(1-\cos2x).
Defino
I_1=\int e^{-x}\sin x\cos x\,dx=\tfrac{1}{2}\int e^{-x}\sin2x\,dx, \qquad I_2=\int e^{-x}\sin^2x\,dx=\tfrac{1}{2}\int e^{-x}(1-\cos2x)\,dx,
e uso as fórmulas padrão para \int e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,dx e \int e^{\alpha x}\cos(\beta x)\,dx com \alpha=-1,\beta=2. Após calcular (detalhes de cálculo de cada integral seguem as mesmas fórmulas usadas no passo anterior) obtenho, escolhendo constantes de integração nulas:
u_2(x)=e^{-x}\Big(\frac{-\sin2x+3\cos2x}{20}-\frac{1}{4}\Big),
u_3(x)=e^{-x}\Big(\frac{3\sin2x+\cos2x}{20}+\frac{1}{4}\Big).
(Estes resultados vêm da combinação explícita de I_1 e I_2 mostrada no desenvolvimento; é só aplicação direta das fórmulas de integração e álgebra.)

Passo 8

Construo a solução particular
y_p=u_1e^{x}+u_2\cos x+u_3\sin x.
Agora substituo as expressões encontradas e simplifico cuidadosamente. Essa simplificação é trabalhosa à mão, mas resulta numa forma muito simples:
y_p(x)=-\tfrac{1}{5}e^{-x}\cos x.
(Verificação rápida e elegante: se assumirmos diretamente uma particular da forma y_p=e^{-x}(A\cos x+B\sin x) e aplicarmos o operador diferencial L=D^3-D^2+D-1, obtemos uma equação algébrica para A,B. Fazendo isso fica claro que A=-\tfrac{1}{5} e B=0, confirmando o resultado obtido via variação de parâmetros.)

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{x}+C_2\cos x + C_3\sin x \;-\;\tfrac{1}{5}e^{-x}\cos x,
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias. Isso completa a solução pelo Método de Variação de Parâmetros (confirmei a parte particular também por um atalho de substituição exponencial para checar o resultado).

Resposta

y(x)=C_1 e^{x}+C_2\cos x + C_3\sin x -\dfrac{1}{5}e^{-x}\cos x

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