Use o Método de Euler para aproximar a solução de cada PVI a seguir.
y^{\prime}=1+y / t, 1 \leq t \leq 2, y(1)=2 \operatorname{com} h=0.25

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI)
y' = 1 + \frac{y}{t},\qquad 1 \le t \le 2,\qquad y(1)=2
usando o Método de Euler com passo h=0,25.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação: } y' = 1 + \frac{y}{t},\\\ &\text{Intervalo: } [1,2],\\\ &\text{Condição inicial: } y(1)=2,\\\ &\text{Passo: } h=0,25. \end{aligned}çãçã
Cálculo do número de passos: \dfrac{2-1}{0,25}=4. Portanto os pontos em que vamos aproximar y são
t_0=1, \; t_1=1,25, \; t_2=1,5, \; t_3=1,75, \; t_4=2.

Passo 2

O que é o Método de Euler (explicação didática)?\n
  • Seja uma EDO y'=f(t,y) com y(t_0)=y_0. O Método de Euler aproxime a solução por valores y_n em t_n=t_0+n h usando a fórmula de avanço
y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n).
  • Aqui h é o tamanho do passo (distância entre pontos em t), t_n é o ponto atual e y_n é a aproximação da solução exata y(t_n). A ideia é usar o declive f(t_n,y_n) no ponto atual como se fosse constante no pequeno intervalo [t_n,t_{n+1}] e avançar linearmente.
  • No nosso caso f(t,y)=1+\dfrac{y}{t}. Vamos aplicar a fórmula acima para n=0,1,2,3 com h=0,25.

Passo 3

Primeiro passo ( n=0, avanço de t_0=1 para t_1=1,25):\n
Dados iniciais: t_0=1, y_0=2. Calcule f(t_0,y_0):
f(t_0,y_0)=1+\frac{y_0}{t_0}=1+\frac{2}{1}=3.
Aplicando Euler:
y_1=y_0+h\,f(t_0,y_0)=2+0,25\cdot 3=2+0,75=2,75.
Podemos também escrever y_1=\dfrac{11}{4}=2,75.

Passo 4

Segundo passo ( n=1, de t_1=1,25 para t_2=1,5):\n
Temos t_1=1,25, y_1=2,75. Calcule f(t_1,y_1):
\frac{y_1}{t_1}=\frac{2,75}{1,25}=\frac{11/4}{5/4}=\frac{11}{5}=2,2,
portanto
f(t_1,y_1)=1+2,2=3,2.
Aplicando Euler:
y_2=y_1+0,25\cdot 3,2=2,75+0,8=3,55.
Em fração y_2=\dfrac{71}{20}=3,55.

Passo 5

Terceiro passo ( n=2, de t_2=1,5 para t_3=1,75):\n
Temos t_2=1,5, y_2=3,55. Calcule f(t_2,y_2):
\frac{y_2}{t_2}=\frac{3,55}{1,5}=\frac{71/20}{3/2}=\frac{71}{20}\cdot\frac{2}{3}=\frac{71}{30}\approx 2,366666\ldots
Logo
f(t_2,y_2)=1+\frac{71}{30}=\frac{101}{30}\approx 3,366666\ldots
Aplicando Euler (usar 0,25=\tfrac{1}{4}):
y_3=y_2+\frac{1}{4}\cdot\frac{101}{30}= \frac{71}{20}+\frac{101}{120}.
Fazendo soma com denominador comum 120:
\frac{71}{20}=\frac{426}{120},\quad \frac{426}{120}+\frac{101}{120}=\frac{527}{120}\approx 4,391666\ldots
Portanto y_3=\dfrac{527}{120}\approx 4,3916667.

Passo 6

Quarto passo ( n=3, de t_3=1,75 para t_4=2):\n
Temos t_3=1,75=\dfrac{7}{4}, y_3=\dfrac{527}{120}. Calcule f(t_3,y_3):
\frac{y_3}{t_3}=\frac{527/120}{7/4}=\frac{527}{120}\cdot\frac{4}{7}=\frac{2108}{840}=\frac{527}{210}\approx 2,5095238.
Então
f(t_3,y_3)=1+\frac{527}{210}=\frac{737}{210}\approx 3,5095238.
Aplicando Euler:
y_4=y_3+\frac{1}{4}\cdot\frac{737}{210}=\frac{527}{120}+\frac{737}{840}.
Colocando denominador comum 840:
\frac{527}{120}=\frac{527\cdot 7}{840}=\frac{3689}{840},\quad \frac{3689}{840}+\frac{737}{840}=\frac{4426}{840}=\frac{2213}{420}.
Em decimal
y_4=\frac{2213}{420}\approx 5,269047619.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida (útil para a prova):\n
Podemos resolver exatamente a EDO para comparar (opcional, mas pedagógico). A equação é linear:
y'-\frac{1}{t}y=1.
Fator integrante \mu(t)=e^{\int -1/t\,dt}=e^{-\ln t}=\frac{1}{t}. Multiplicando por \mu obtemos
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{y}{t}\right)=\frac{1}{t}.
Integramos:
\frac{y}{t}=\ln t + C \quad\Rightarrow\quad y(t)=t\ln t + C t.
Usando y(1)=2 (já que \ln 1=0) obtemos C=2. Assim a solução exata é
y(t)=t\ln t + 2t.
Para comparar em cada malha:
\begin{aligned} y(1,25)&\approx 1,25\ln(1,25)+2{,}5\approx 2{,}77892944,\\\ y(1,5)&\approx 1{,}5\ln(1{,}5)+3\approx 3{,}60819766,\\\ y(1,75)&\approx 1{,}75\ln(1{,}75)+3{,}5\approx 4{,}47932749,\\\ y(2)&\approx 2\ln 2 +4\approx 5{,}38629436. \end{aligned}
Os erros do Método de Euler são, portanto, negativos e crescentes nesse caso, mostrando que Euler subestimou a solução em cada passo (erro em t_4 na ordem de 0{,}12). Em prova, limite-se a calcular as aproximações pelo método e, se pedir, compare com a solução exata como fiz aqui.

Resposta

\,y(1,25)\approx 2,75
\,y(1,5)\approx 3,55
\,y(1,75)\approx 4,3916667
\,y(2)\approx 5,2690476

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