Use o Método de Euler para aproximar a solução de cada PVI a seguir.
y^{\prime}=1+y / t, 1 \leq t \leq 2, y(1)=2 \operatorname{com} h=0.25
y^{\prime}=1+y / t, 1 \leq t \leq 2, y(1)=2 \operatorname{com} h=0.25
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI)
usando o Método de Euler com passo
.
Informações dadas:
Cálculo do número de passos:
. Portanto os pontos em que vamos aproximar
são
Passo 2
O que é o Método de Euler (explicação didática)?\n
- Seja uma EDO
com . O Método de Euler aproxime a solução por valores em usando a fórmula de avanço
- Aqui
é o tamanho do passo (distância entre pontos em ), é o ponto atual e é a aproximação da solução exata . A ideia é usar o declive no ponto atual como se fosse constante no pequeno intervalo e avançar linearmente. - No nosso caso
. Vamos aplicar a fórmula acima para com .
Passo 3
Primeiro passo (
, avanço de
para
):\n
Dados iniciais: ,
. Calcule
:
Dados iniciais:
Aplicando Euler:
Podemos também escrever
.
Passo 4
Segundo passo (
, de
para
):\n
Temos ,
. Calcule
:
Temos
portanto
Aplicando Euler:
Em fração
.
Passo 5
Terceiro passo (
, de
para
):\n
Temos ,
. Calcule
:
Temos
Logo
Aplicando Euler (usar
):
Fazendo soma com denominador comum
:
Portanto
.
Passo 6
Quarto passo (
, de
para
):\n
Temos ,
. Calcule
:
Temos
Então
Aplicando Euler:
Colocando denominador comum
:
Em decimal
Passo 7
Comentário final e verificação rápida (útil para a prova):\n
Podemos resolver exatamente a EDO para comparar (opcional, mas pedagógico). A equação é linear:
Podemos resolver exatamente a EDO para comparar (opcional, mas pedagógico). A equação é linear:
Fator integrante
. Multiplicando por
obtemos
Integramos:
Usando
(já que
) obtemos
. Assim a solução exata é
Para comparar em cada malha:
Os erros do Método de Euler são, portanto, negativos e crescentes nesse caso, mostrando que Euler subestimou a solução em cada passo (erro em
na ordem de
). Em prova, limite-se a calcular as aproximações pelo método e, se pedir, compare com a solução exata como fiz aqui.