Use o método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa das matrizes a seguir:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A. A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 3 \end{array}\right].
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{1) }A\text{ é uma matriz }3\times 3\quad\text{(quadrada).}é
\text{2) As entradas de }A\text{ são }a_{11}=1,\;a_{12}=0,\;a_{13}=2,\;a_{21}=0,\;a_{22}=1,\;a_{23}=2,\;a_{31}=2,\;a_{32}=0,\;a_{33}=3.ã
O que se pede: calcular a matriz A^{-1} (a inversa de A), ou seja, a matriz que satisfaz
A\;A^{-1}=A^{-1}\;A=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times 3.]

Passo 2

O que significa encontrar uma inversa e como vamos proceder (aula rápida e prática).
  • Definição: uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1} se existe uma matriz tal que A A^{-1}=I. Nem toda matriz quadrada tem inversa; só as que são invertíveis (não singulares).
  • Ideia do método que vamos usar (explicação didática): augmentamos A com a identidade I_3 formando [A\;|\;I_3]. Aplicamos operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha em outra) para transformar o bloco da esquerda em I_3. Quando o bloco da esquerda virar I_3, o bloco da direita será A^{-1}.
  • Operações permitidas (explicação das ferramentas): para linhas R_i e R_j e escalar k\neq0, podemos: R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow kR_i,\quad R_i\leftarrow R_i + kR_j.
Essas operações não mudam a solução do sistema equivalente e, portanto, preservam a relação necessária para obter A^{-1}.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial [A\;|\;I_3]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Agora vamos aplicar operações de linha para transformar a parte esquerda em I_3.]

Passo 4

Primeiro objetivo: zerar o elemento abaixo do pivô a_{11}=1 (ou seja, eliminar o 2 em posição (3,1)). Usamos a operação
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Calculemos entrada a entrada:
  • Coluna 1: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Coluna 2: 0 - 2\cdot 0 = 0.
  • Coluna 3: 3 - 2\cdot 2 = 3 - 4 = -1.
    Parte direita:
  • primeiro bloco: 0 - 2\cdot 1 = -2.
  • segundo bloco: 0 - 2\cdot 0 = 0.
  • terceiro bloco: 1 - 2\cdot 0 = 1.
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora temos um pivô em (3,3) igual a -1. É conveniente torná-lo 1 para facilitar as eliminações acima. Aplicamos
R_3 \leftarrow -1\cdot R_3.
Isso multiplica cada entrada da linha 3 por -1. Calculando:
  • esquerda linha 3: [0,0,1].
  • direita linha 3: [2,0,-1].
Aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora vamos zerar os elementos acima do pivô (3,3), ou seja, eliminar o 2 na posição (1,3). Usamos
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3.
Detalhando as contas:
  • Coluna 1: 1 - 2\cdot 0 = 1.
  • Coluna 2: 0 - 2\cdot 0 = 0.
  • Coluna 3: 2 - 2\cdot 1 = 0.
    Direita:
  • primeira entrada: 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3.
  • segunda entrada: 0 - 2\cdot 0 = 0.
  • terceira entrada: 0 - 2\cdot(-1) = 0 + 2 = 2.
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Faltam zerar o elemento (2,3)=2. Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3.
Calculemos:
  • Coluna 1: 0 - 2\cdot 0 = 0.
  • Coluna 2: 1 - 2\cdot 0 = 1.
  • Coluna 3: 2 - 2\cdot 1 = 0.
    Direita:
  • primeira entrada: 0 - 2\cdot 2 = -4.
  • segunda entrada: 1 - 2\cdot 0 = 1.
  • terceira entrada: 0 - 2\cdot(-1) = 2.
Aumentada final:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 8

Observação final e verificação curta: a parte esquerda da matriz aumentada já é a identidade I_3. Portanto, a parte direita é a inversa A^{-1}. Para ter segurança, eu costumo verificar multiplicando A por essa matriz: se A vezes a parte direita der I_3, estamos corretos. (Fiz essa checagem mental — dá I_3, se quiser eu mostro a multiplicação passo a passo.)

Resposta

A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 2\\[4pt] -4 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 0 & -1 \end{array}\right]]

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