Use o método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa das matrizes a seguir: A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A. A matriz dada é
\text{1) }A\text{ é uma matriz }3\times 3\quad\text{(quadrada).}é
\text{2) As entradas de }A\text{ são }a_{11}=1,\;a_{12}=0,\;a_{13}=2,\;a_{21}=0,\;a_{22}=1,\;a_{23}=2,\;a_{31}=2,\;a_{32}=0,\;a_{33}=3.ã
O que se pede: calcular a matriz A^{-1} (a inversa de A), ou seja, a matriz que satisfaz
A\;A^{-1}=A^{-1}\;A=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times 3.]
Passo 2
O que significa encontrar uma inversa e como vamos proceder (aula rápida e prática).
Definição: uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1} se existe uma matriz tal que A A^{-1}=I. Nem toda matriz quadrada tem inversa; só as que são invertíveis (não singulares).
Ideia do método que vamos usar (explicação didática): augmentamos A com a identidade I_3 formando [A\;|\;I_3]. Aplicamos operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha em outra) para transformar o bloco da esquerda em I_3. Quando o bloco da esquerda virar I_3, o bloco da direita será A^{-1}.
Operações permitidas (explicação das ferramentas): para linhas R_i e R_j e escalar k\neq0, podemos:R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow kR_i,\quad R_i\leftarrow R_i + kR_j.
Essas operações não mudam a solução do sistema equivalente e, portanto, preservam a relação necessária para obter A^{-1}.
Observação final e verificação curta: a parte esquerda da matriz aumentada já é a identidade I_3. Portanto, a parte direita é a inversa A^{-1}. Para ter segurança, eu costumo verificar multiplicando A por essa matriz: se A vezes a parte direita der I_3, estamos corretos. (Fiz essa checagem mental — dá I_3, se quiser eu mostro a multiplicação passo a passo.)