Mostre que a matriz triangular superior A=\left[\begin{array}{lll}a & d & e \\\\ 0 & b & f \\\\ 0 & 0 & c\end{array}\right], sendo a, b e c reais não nulos é não singular calculando sua inversa pelo método de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
A=\begin{bmatrix}a & d & e\\[4pt]0 & b & f\\[4pt]0 & 0 & c\end{bmatrix},
com a, b e c reais não nulos, e pede para mostrar que A é não singular calculando sua inversa pelo método de Gauss–Jordan.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos da diagonal principal são \,a,\;b,\;c e todos são não nulos.
  • Os outros elementos são d,e,f (podem ser quaisquer reais).
  • A tarefa é obter A^{-1} aplicando operações elementares de linha ao sistema augmentado [A\mid I] até transformar a parte esquerda em I.]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [A\mid I]. Vou escrever as três linhas explicitamente; cada entrada é escrita em TeX:
\bigl[A\mid I\bigr]= \left[\begin{array}{ccc|ccc} a & d & e & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & b & f & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & c & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explicação rápida do que vamos fazer: o objetivo do Gauss–Jordan é, por operações de linha (multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar um múltiplo de uma linha em outra), transformar a parte esquerda em \;I_3. As mesmas operações aplicadas à parte direita geram A^{-1}. Como a,b,c\neq0, podemos dividir as linhas correspondentes por esses escalares (essas operações são permitidas).]

Passo 3

Primeira etapa prática: tornar os pivôs iguais a 1 dividindo cada linha pela entrada diagonal correspondente. São as operações
R_1\leftarrow\frac{1}{a}R_1,\qquad R_2\leftarrow\frac{1}{b}R_2,\qquad R_3\leftarrow\frac{1}{c}R_3.
Aplicando isso obtemos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \dfrac{d}{a} & \dfrac{e}{a} & \dfrac{1}{a} & 0 & 0\\[8pt] 0 & 1 & \dfrac{f}{b} & 0 & \dfrac{1}{b} & 0\\[8pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{c} \end{array}\right].
Comentário didático: dividir uma linha por um número não nulo é uma operação elementar inversível; ela deixa a solução (neste caso, a relação entre A e I) inalterada em conteúdo, apenas normaliza o pivô.]

Passo 4

Agora eliminamos as entradas acima dos pivôs (Gauss–Jordan exige zeros acima e abaixo dos pivôs). Começo zerando a entrada na posição (1,2), que é \dfrac{d}{a}. Uso a operação
R_1\leftarrow R_1 - \frac{d}{a}\,R_2.
Calculemos as entradas relevantes após essa operação:
  • A nova (1,2) fica \dfrac{d}{a} - \dfrac{d}{a}\cdot 1 = 0.
  • A nova (1,3) fica
\dfrac{e}{a} - \frac{d}{a}\cdot\frac{f}{b} = \frac{e}{a} - \frac{d f}{a b} = \frac{e b - d f}{a b}.
  • A parte direita da linha 1 transforma-se em
\left(\dfrac{1}{a},\,0,\,0\right) - \frac{d}{a}\left(0,\,\dfrac{1}{b},\,0\right) =\left(\dfrac{1}{a},\,-\dfrac{d}{a b},\,0\right).
Depois dessa operação a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \dfrac{e b - d f}{a b} & \dfrac{1}{a} & -\dfrac{d}{a b} & 0\\[8pt] 0 & 1 & \dfrac{f}{b} & 0 & \dfrac{1}{b} & 0\\[8pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{c} \end{array}\right].]

Passo 5

Seguimos zerando a entrada (2,3), que atualmente é \dfrac{f}{b}. Usamos
R_2\leftarrow R_2 - \frac{f}{b}\,R_3.
Calculando as entradas modificadas:
  • A nova (2,3) é \dfrac{f}{b} - \dfrac{f}{b}\cdot 1 = 0.
  • A parte direita da linha 2 transforma-se em
\left(0,\,\dfrac{1}{b},\,0\right) - \frac{f}{b}\left(0,\,0,\,\dfrac{1}{c}\right) =\left(0,\,\dfrac{1}{b},\,-\dfrac{f}{b c}\right).
Após essa operação a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \dfrac{e b - d f}{a b} & \dfrac{1}{a} & -\dfrac{d}{a b} & 0\\[8pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{b} & -\dfrac{f}{b c}\\[8pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{c} \end{array}\right].]

Passo 6

Finalmente zeramos a entrada (1,3), que é \dfrac{e b - d f}{a b}. Fazemos
R_1\leftarrow R_1 - \frac{e b - d f}{a b}\,R_3.
Calculemos a nova parte direita da linha 1:
  • A primeira coluna da parte direita da linha 1 permanece \dfrac{1}{a} porque R_3 tem zero nessa coluna.
  • A segunda coluna permanece -\dfrac{d}{a b} porque R_3 tem zero nessa coluna.
  • A terceira coluna transforma-se em
0 - \frac{e b - d f}{a b}\cdot\frac{1}{c} = -\frac{e b - d f}{a b c} = \frac{d f - e b}{a b c}.
Depois dessa operação a parte esquerda torna-se a identidade I_3 e a parte direita é exatamente A^{-1}. A matriz aumentada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{a} & -\dfrac{d}{a b} & \dfrac{d f - e b}{a b c}\\[8pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{b} & -\dfrac{f}{b c}\\[8pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{c} \end{array}\right].]

Passo 7

Concluímos que a inversa existe (portanto A é não singular) e é a matriz que apareceu à direita após as operações de Gauss–Jordan. Vou escrever A^{-1} de forma explícita e organizada, comentando que cada entrada foi obtida pelas operações acima e que em todas as divisões usamos a,b,c\neq0.

Resposta

A^{-1}=\begin{bmatrix} \dfrac{1}{a} & -\dfrac{d}{a b} & \dfrac{d f - e b}{a b c}\\[8pt] 0 & \dfrac{1}{b} & -\dfrac{f}{b c}\\[8pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{c} \end{bmatrix}]

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