Qual é a matriz que resulta após aplicar a redução de Gauss-Jordan a uma matriz não singular?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual é a matriz que resulta após aplicar a redução de Gauss-Jordan a uma matriz não singular?”
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a matriz considerada é não singular, isto é, é uma matriz quadrada invertível (tem determinante diferente de zero). Não há outros dados numéricos — a pergunta é sobre o resultado geral do processo de Gauss-Jordan aplicado a qualquer matriz não singular.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a matriz considerada é não singular, isto é, é uma matriz quadrada invertível (tem determinante diferente de zero). Não há outros dados numéricos — a pergunta é sobre o resultado geral do processo de Gauss-Jordan aplicado a qualquer matriz não singular.
Passo 2
Entendendo o que significa “matriz não singular” (sem pulo de etapas):
Definição: uma matriz é não singular se ela é quadrada (digamos
) e possui inverso. Outra forma equivalente de dizer isso é:
ou
(posto cheio). Aqui:
Definição: uma matriz
-
é o determinante de . -
é o número máximo de linhas linearmente independentes de .
Sesignifica que há pivôs (leading ones) possíveis nas linhas após eliminação.
Passo 3
O que é a redução de Gauss-Jordan (passo-a-passo didático):
- Gauss-Jordan é um algoritmo que usa operações elementares por linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a múltiplos de uma linha a outra) para transformar uma matriz em sua forma reduzida por linhas (RREF — Reduced Row Echelon Form).
- Operações elementares por linhas correspondem a multiplicar
à esquerda por matrizes elementares . Cada operação é reversível, portanto não altera o fato de a matriz ser invertível nem reduz seu posto. - A RREF tem estas propriedades essenciais: cada linha nula (se houver) fica embaixo; o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é
(chamado de pivô); cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna; cada pivô aparece à direita do pivô da linha anterior.
Passo 4
Por que a RREF de uma matriz não singular é a matriz identidade (explicação lógica simples):
- Se
é e não singular, então . - Ao aplicar Gauss-Jordan obtemos uma matriz
em RREF que é equivalente a por operações lineares: existem matrizes elementares tais que Como cada é invertível, o posto é preservado, logo . - Uma matriz
em RREF com posto precisa ter um pivô em cada uma das linhas e, por ser RREF, esses pivôs aparecem cada um em colunas diferentes e são os únicos elementos não nulos de suas colunas. A única matriz que satisfaz isso é a matriz identidade .
Portanto, o processo de Gauss-Jordan transforma qualquer matriz não singularem .
Passo 5
Prova curta e direta de unicidade (para fixar):
- A forma reduzida por linhas (RREF) de uma matriz é única.
- Como argumentado, para
invertível o RREF tem posto , então deve ter pivôs. A única matriz em RREF com pivôs é . Assim a RREF é exatamente .
Passo 6
Exemplo concreto, mastigado, para ver na prática (matriz
):
Comece com
Comece com
Aplicando Gauss-Jordan:
- Trocar
com (para ter pivô na primeira linha):
-
:
- Multiplicar
por para obter pivô :
- Eliminar acima do pivô da segunda coluna:
:
Viu? Para essa matriz não singular o Gauss-Jordan deu
, como a teoria prevê.]
Passo 7
Observação útil para prova e solução de exercícios:
- Se você aplicar Gauss-Jordan à matriz aumentada
(onde é a identidade), ao final você obterá . Ou seja, Gauss-Jordan simultaneamente reduz a e transforma em . Isso é muito usado para calcular inversa em provas e exercícios sem determinante ou adjunta.