Qual é a matriz que resulta após aplicar a redução de Gauss-Jordan a uma matriz não singular?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é a matriz que resulta após aplicar a redução de Gauss-Jordan a uma matriz não singular?”
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a matriz considerada é não singular, isto é, é uma matriz quadrada invertível (tem determinante diferente de zero). Não há outros dados numéricos — a pergunta é sobre o resultado geral do processo de Gauss-Jordan aplicado a qualquer matriz não singular.

Passo 2

Entendendo o que significa “matriz não singular” (sem pulo de etapas):
Definição: uma matriz A é não singular se ela é quadrada (digamos n\times n) e possui inverso. Outra forma equivalente de dizer isso é: \det(A)\neq 0 ou \text{posto}(A)=n (posto cheio). Aqui:
  • \det(A) é o determinante de A.
  • \text{posto}(A) é o número máximo de linhas linearmente independentes de A.
    Se \text{posto}(A)=n significa que há n pivôs (leading ones) possíveis nas linhas após eliminação.

Passo 3

O que é a redução de Gauss-Jordan (passo-a-passo didático):
  • Gauss-Jordan é um algoritmo que usa operações elementares por linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a múltiplos de uma linha a outra) para transformar uma matriz em sua forma reduzida por linhas (RREF — Reduced Row Echelon Form).
  • Operações elementares por linhas correspondem a multiplicar A à esquerda por matrizes elementares E. Cada operação é reversível, portanto não altera o fato de a matriz ser invertível nem reduz seu posto.
  • A RREF tem estas propriedades essenciais: cada linha nula (se houver) fica embaixo; o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é 1 (chamado de pivô); cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna; cada pivô aparece à direita do pivô da linha anterior.

Passo 4

Por que a RREF de uma matriz não singular é a matriz identidade (explicação lógica simples):
  • Se A é n\times n e não singular, então \text{posto}(A)=n.
  • Ao aplicar Gauss-Jordan obtemos uma matriz R em RREF que é equivalente a A por operações lineares: existem matrizes elementares E_1,\dots,E_k tais que \,R = E_k\cdots E_1 A\,. Como cada E_i é invertível, o posto é preservado, logo \text{posto}(R)=\text{posto}(A)=n.
  • Uma matriz n\times n em RREF com posto n precisa ter um pivô em cada uma das n linhas e, por ser RREF, esses pivôs aparecem cada um em colunas diferentes e são os únicos elementos não nulos de suas colunas. A única matriz n\times n que satisfaz isso é a matriz identidade I_n.
    Portanto, o processo de Gauss-Jordan transforma qualquer matriz não singular A em I_n.

Passo 5

Prova curta e direta de unicidade (para fixar):
  • A forma reduzida por linhas (RREF) de uma matriz é única.
  • Como argumentado, para A invertível o RREF tem posto n, então deve ter n pivôs. A única matriz n\times n em RREF com n pivôs é I_n. Assim a RREF é exatamente I_n.

Passo 6

Exemplo concreto, mastigado, para ver na prática (matriz 2\times2):
Comece com
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando Gauss-Jordan:
  1. Trocar R_1 com R_2 (para ter pivô 1 na primeira linha):
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
  1. Multiplicar R_2 por -1 para obter pivô 1:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  1. Eliminar acima do pivô da segunda coluna: R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_2.
Viu? Para essa matriz não singular o Gauss-Jordan deu I_2, como a teoria prevê.]

Passo 7

Observação útil para prova e solução de exercícios:
  • Se você aplicar Gauss-Jordan à matriz aumentada \bigl[A \mid I_n\bigr] (onde I_n é a identidade), ao final você obterá \bigl[I_n \mid A^{-1}\bigr]. Ou seja, Gauss-Jordan simultaneamente reduz A a I_n e transforma I_n em A^{-1}. Isso é muito usado para calcular inversa em provas e exercícios sem determinante ou adjunta.

Resposta

I_n

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