Use o método de integração por frações parciais para resolver as seguintes integrais
\int \frac{4 z^{2}}{(z-1)^{2}\left(z^{2}-4 z+3\right)} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{4z^{2}}{(z-1)^{2}\bigl(z^{2}-4z+3\bigr)}\,dz
usando frações parciais. O conteúdo envolve fatorar o denominador, escrever a decomposição e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
z^{2}-4z+3=(z-1)(z-3),
portanto
(z-1)^{2}(z^{2}-4z+3)=(z-1)^{3}(z-3).
Logo procuramos constantes A,B,C,D tais que
\frac{4z^{2}}{(z-1)^{3}(z-3)} = \frac{A}{z-3}+\frac{B}{z-1}+\frac{C}{(z-1)^{2}}+\frac{D}{(z-1)^{3}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (z-1)^{3}(z-3), obtemos
4z^{2} = A(z-1)^{3} + B(z-1)^{2}(z-3) + C(z-1)(z-3) + D(z-3).
Avaliação em pontos especiais:
– Para z=3: 4\cdot 3^{2}=36=A\cdot2^{3}\implies A=\tfrac{36}{8}=\tfrac{9}{2}.
– Para z=1: 4\cdot1^{2}=4=D\,(1-3)\implies D=-2.
Comparando coeficientes de z^{3},z^{2},z,1 ou usando mais valores, encontra-se
B=-\tfrac{9}{2},\quad C=-5.
Assim a decomposição é
\frac{4z^{2}}{(z-1)^{3}(z-3)} =\frac{\tfrac{9}{2}}{z-3} -\frac{\tfrac{9}{2}}{z-1} -\frac{5}{(z-1)^{2}} -\frac{2}{(z-1)^{3}}.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
\int \frac{\tfrac{9}{2}}{z-3}\,dz =\tfrac{9}{2}\ln\bigl|z-3\bigr|,
\int -\frac{\tfrac{9}{2}}{z-1}\,dz =-\tfrac{9}{2}\ln\bigl|z-1\bigr|,
\int -\frac{5}{(z-1)^{2}}\,dz =-5\int (z-1)^{-2}dz =5\,(z-1)^{-1} =\frac{5}{z-1},
\int -\frac{2}{(z-1)^{3}}\,dz =-2\int (z-1)^{-3}dz =(z-1)^{-2} =\frac{1}{(z-1)^{2}}.

Resposta

\int \frac{4z^{2}}{(z-1)^{2}(z^{2}-4z+3)}\,dz =\frac{9}{2}\ln\bigl|z-3\bigr| -\frac{9}{2}\ln\bigl|z-1\bigr| +\frac{5}{z-1} +\frac{1}{(z-1)^{2}} +C.

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