Use o método de integração por frações parciais para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)}\,dx
usando o método de frações parciais. Vamos decompor a fração racional em termos de parcelas simples e depois integrar cada uma.

Passo 2

Suponha a decomposição
\frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)(x+2), obtemos a identidade
x = A\,(x+1)(x+2) + B\,(x-1)(x+2) + C\,(x-1)(x+1).

Passo 3

Para determinar A, B e C, avaliamo-os em valores convenientes de x:
Para x=1:
1 = A\,(1+1)\,(1+2) = A\,(2\cdot3) \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{6}.
Para x=-1:
-1 = B\,(-1-1)\,(-1+2) = B\,(-2\cdot1) \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{2}.
Para x=-2:
-2 = C\,(-2-1)\,(-2+1) = C\,(-3\cdot-1) \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)}\,dx = \int\!\Bigl(\frac{\tfrac{1}{6}}{x-1} + \frac{\tfrac{1}{2}}{x+1} - \frac{\tfrac{2}{3}}{x+2}\Bigr)\,dx.
Integramos cada parcela simples:
\int \frac{1/6}{x-1}\,dx = \tfrac{1}{6}\ln\lvert x-1\rvert, \quad \int \frac{1/2}{x+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert, \quad \int -\frac{2/3}{x+2}\,dx = -\tfrac{2}{3}\ln\lvert x+2\rvert.

Passo 5

Somando todos os termos e incluindo a constante C, obtemos a primitiva desejada:
\frac{1}{6}\ln\lvert x-1\rvert + \frac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert - \frac{2}{3}\ln\lvert x+2\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\ln\lvert x-1\rvert + \frac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert - \frac{2}{3}\ln\lvert x+2\rvert + C

Exercícios relacionados