Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int \cos (\ln x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int \cos(\ln x)\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
duas vezes, escolhendo u de modo que apareçam \cos(\ln x) e \sin(\ln x).

Passo 2

Tomamos
u = \cos(\ln x), \quad dv = dx.
Então
du = -\sin(\ln x)\,\frac{1}{x}\,dx, \quad v = x.
Aplicando integração por partes:
I = x\cos(\ln x) - \int x\bigl(-\sin(\ln x)\,\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx = x\cos(\ln x) + \int \sin(\ln x)\,dx.
Definimos
J = \int \sin(\ln x)\,dx,
logo
I = x\cos(\ln x) + J.

Passo 3

Para J, fazemos nova integração por partes:
u = \sin(\ln x), \quad dv = dx,
então
du = \cos(\ln x)\,\frac{1}{x}\,dx, \quad v = x.
Logo
J = x\sin(\ln x) - \int x\bigl(\cos(\ln x)\,\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx = x\sin(\ln x) - \int \cos(\ln x)\,dx = x\sin(\ln x) - I.

Passo 4

Agora substituímos J em I = x\cos(\ln x) + J:
I = x\cos(\ln x) + \bigl(x\sin(\ln x) - I\bigr) = x\cos(\ln x) + x\sin(\ln x) - I.
Passando -I para o lado esquerdo:
2I = x\bigl(\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\bigr),
portanto
I = \frac{x}{2}\,\bigl(\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\bigr) + C.

Resposta

\int \cos(\ln x)\,dx = \frac{x}{2}\,\bigl(\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\bigr) + C.

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