Se a sequência \left(\operatorname{sen} 2 x,-\cos x, \frac{\operatorname{tg} x}{6}\right), \pi<x<\frac{3 \pi}{2}, é uma progressão geométrica, então x é igual a:
Escolha uma opção:
-\frac{2 \pi}{3}
Nenhuma das demais alternativas
\frac{3 \pi}{4}
\frac{7 \pi}{6}
\frac{4 \pi}{3}
\frac{5 \pi}{4}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \bigl(\operatorname{sen} 2x,\,-\cos x,\;\tfrac{\tan x}{6}\bigr)
para x\in\bigl(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\bigr) e diz que ela é uma progressão geométrica (PG).
Em uma PG de termos a,b,c vale
b^2 = a\,c.
Vamos aplicar isso usando identidades trigonométricas para encontrar x.

Passo 2

Identificamos
a = \operatorname{sen} 2x, \quad b = -\cos x, \quad c = \frac{\tan x}{6}.
A condição de PG é
(-\cos x)^2 \;=\;\operatorname{sen} 2x\;\cdot\;\frac{\tan x}{6}.

Passo 3

No lado direito, use \operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x e \tan x = \tfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}:
\operatorname{sen} 2x\;\tan x =2\operatorname{sen} x\cos x\;\times\;\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} =2\operatorname{sen}^2 x.
Portanto
\operatorname{sen} 2x\;\frac{\tan x}{6} =\frac{2\operatorname{sen}^2 x}{6} =\frac{\operatorname{sen}^2 x}{3}.
E no lado esquerdo (- \cos x)^2 = \cos^2 x. Assim a equação vira
\cos^2 x = \frac{\operatorname{sen}^2 x}{3}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 3\cos^2 x temos
3\cos^2 x = \operatorname{sen}^2 x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \tan^2 x = 3.
Logo
\tan x = \pm\sqrt{3}.

Passo 5

Como x\in\bigl(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\bigr), estamos no terceiro quadrante onde \tan x>0. Então
\tan x = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}.
Esse é o único valor em \bigl(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

Exercícios relacionados