Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int \operatorname{sec} ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
além do fato de que
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x,\qquad \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x
e que depois precisaremos da integral de \operatorname{sec} x.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{sec} x,\quad dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então
du = \operatorname{sec} x\tan x\,dx,\quad v = \tan x.
Aplicando a fórmula,
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x \;-\;\int \tan x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.

Passo 3

Dentro da integral aparece \tan x\cdot\operatorname{sec} x\tan x=\operatorname{sec} x\tan^{2}x. Como \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1, segue
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x \;-\;\int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec}^{2}x-1)\,dx = \operatorname{sec} x\tan x \;-\;\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Passando \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx para o lado esquerdo,
2\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \tfrac12\Bigl(\operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx\Bigr).

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sec} x\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.
Substituindo na expressão anterior,
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac12\Bigl(\operatorname{sec} x\tan x + \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|\Bigr) + C.

Resposta

\frac12\bigl(\operatorname{sec} x\tan x + \ln\lvert\operatorname{sec} x + \tan x\rvert\bigr) + C

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