Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{5 x^{3}-7}

Passo 1

O exercício pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5x^{3}-7}.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito, e para resolver vamos usar a técnica de comparar graus dos polinômios e, para tornar isso explícito, dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Note que o numerador e o denominador são polinômios de grau 3. Quando têm o mesmo grau, o limite no infinito é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Para ver isso em detalhes, dividimos cada termo por x^{3}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3}, obtemos
\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5x^{3}-7} =\frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}+\frac{2x^{2}}{x^{3}}-\frac{1}{x^{3}}}{\frac{5x^{3}}{x^{3}}-\frac{7}{x^{3}}} =\frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{5 - \frac{7}{x^{3}}}.

Passo 4

Quando x \to \infty, temos \tfrac{2}{x}\to0, \tfrac{1}{x^{3}}\to0 e \tfrac{7}{x^{3}}\to0. Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{5 - \frac{7}{x^{3}}} =\frac{1 + 0 - 0}{5 - 0} =\frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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