Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int e^{x} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = \int e^{x}\cos x\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e escolher adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \cos x,\quad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = -\sin x\,dx,\quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
I = \int e^{x}\cos x\,dx = u\,v - \int v\,du = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx.
Definimos
I_{2} = \int e^{x}\sin x\,dx,
então
I = e^{x}\cos x + I_{2}.

Passo 3

Agora calculamos I_{2} por partes escolhendo
u = \sin x,\quad dv = e^{x}\,dx.
Temos
du = \cos x\,dx,\quad v = e^{x}.
Logo,
I_{2} = \int e^{x}\sin x\,dx = u\,v - \int v\,du = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\sin x - I.

Passo 4

Voltando à expressão de I:
I = e^{x}\cos x + I_{2} = e^{x}\cos x + \bigl(e^{x}\sin x - I\bigr) = e^{x}(\cos x + \sin x) - I.
Isolando I no lado esquerdo:
I + I = 2I = e^{x}(\cos x + \sin x) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{x}}{2}\,(\cos x + \sin x) + C.

Resposta

\int e^{x}\cos x\,dx = \frac{e^{x}}{2}\,(\sin x + \cos x) + C.

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