Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int x \cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x \cos 2x \, dx
usando o método de integração por partes. Aqui o conteúdo é a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
onde escolhemos uma função u para derivar e outra dv para integrar.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = \cos 2x \, dx.
Então
du = dx
e precisamos achar
v = \int \cos 2x \, dx.

Passo 3

Para obter v, integramos \cos 2x:
v = \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x \cos 2x \, dx = u\,v - \int v\,du = x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx.
Agora calculamos
\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}\cos 2x,
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- \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{2}\cos 2x\Bigr) = \frac{1}{4}\cos 2x.
Assim a integral fica
\int x \cos 2x \, dx = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C.

Resposta

\int x \cos 2x \, dx = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C.

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