Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar também de uma substituição simples para resolver o que sobrar depois de aplicar partes.

Passo 2

Observe que podemos escrever
\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = x^{2}\,\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}.
Para a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
fazemos a escolha
u = x^{2}, \quad dv = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 2x\,dx,
e para v integramos dv:
v = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.
Fazendo a substituição t = 1 - x^{2}, dt = -2x\,dx, obtemos
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \int -\frac{1}{2}\,t^{-\tfrac12}\,dt = -\,t^{\tfrac12} = -\,\sqrt{1 - x^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de partes:
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = u\,v - \int v\,du = x^{2}\bigl(-\sqrt{1 - x^{2}}\bigr) - \int \bigl(-\sqrt{1 - x^{2}}\bigr)\,(2x\,dx).
Isto é
= -\,x^{2}\sqrt{1 - x^{2}} + 2\int x\,\sqrt{1 - x^{2}}\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle \int x\,\sqrt{1 - x^{2}}\,dx novamente usamos t = 1 - x^{2}, dt = -2x\,dx, assim
\int x\,\sqrt{1 - x^{2}}\,dx = -\,\frac12 \int t^{\tfrac12}\,dt = -\,\frac12 \cdot \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} = -\,\frac{1}{3}\,(1 - x^{2})^{\tfrac32}.
Logo
2\int x\,\sqrt{1 - x^{2}}\,dx = 2\Bigl(-\frac{1}{3}(1 - x^{2})^{\tfrac32}\Bigr) = -\frac{2}{3}(1 - x^{2})^{\tfrac32}.

Passo 6

Substituindo de volta em I=\int x^{3}/\sqrt{1 - x^{2}}\,dx, temos
I = -\,x^{2}\sqrt{1 - x^{2}} - \frac{2}{3}(1 - x^{2})^{\tfrac32} + C.
Podemos fatorar \sqrt{1 - x^{2}}:
I = -\sqrt{1 - x^{2}}\Bigl(x^{2} + \tfrac{2}{3}(1 - x^{2})\Bigr)+C = -\tfrac{1}{3}(x^{2}+2)\sqrt{1 - x^{2}} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = -\,x^{2}\sqrt{1 - x^{2}} -\frac{2}{3}(1 - x^{2})^{\tfrac32} + C }
que equivale a
-\tfrac{1}{3}(x^{2}+2)\,\sqrt{1 - x^{2}} + C.

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