Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int x e^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x e^{3x}\,dx
usando o método de integração por partes, cujo conteúdo consiste em inverter a regra do produto. Vamos precisar escolher funções u e dv de modo que simplifiquem a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = e^{3x}\,dx.
Então diferenciando e integrando, obtemos
du = dx,\qquad v = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral remanescente:
\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Substituindo,
\int x e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C.

Resposta

\int x e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{9}\,\bigl(3x - 1\bigr) + C.

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