Verifique que o problema de encontrar uma raiz da função
é equivalente a encontrar um ponto fixo para cada uma das funções abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que resolver a equação
com
é equivalente a encontrar um ponto fixo da função
Informações dadas e perguntas claras:
- Dado
. - Dada
. - Verificar a equivalência entre as soluções de
e os pontos fixos de , isto é, a relação entre soluções de e valores tais que .
Passo 2
Definição e observações importantes (bagagem pequena, mas necessária):
- Um ponto
é ponto fixo de quando . - Para números reais, a função
é a raiz quarta principal: está definida apenas para e seu valor é não-negativo. Em particular, , não simplesmente . - Portanto, ao tomar quarta raiz de uma igualdade envolvendo
devemos prestar atenção ao valor absoluto.
Passo 3
Reescrevendo a equação
de forma conveniente:
Isolando
,
Esta é uma álgebra elementar: apenas movi os termos
para o outro lado.
Passo 4
Aplicando a raiz quarta em ambos os lados e usando que
:
Aqui é crucial: a igualdade acima só faz sentido real quando o lado direito está definido, ou seja, quando
Vou resolver essa condição de domínio já a seguir.
Passo 5
Resolver a desigualdade do domínio
:
Reescrevendo em forma padrão,
Reescrevendo em forma padrão,
As raízes do polinômio
são
ou seja
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a desigualdade
vale para
entre as raízes. Logo o domínio onde o radicando é não-negativo é
Passo 6
Separar os dois casos decorrentes de
:
Caso A:
.
Então , e a igualdade vira
Então
Isto é exatamente
. Portanto, qualquer raiz
de
que satisfaça
e esteja no domínio
é um ponto fixo de
.
Caso B:
.
Então , e a igualdade vira
Então
ou seja
Isso significa que raízes negativas de
correspondem a pontos fixos da função
, mas não a pontos fixos de
(porque
é sempre não-negativa).
Passo 7
Conclusões finais e interpretação prática:
- Para
com , tem-se a equivalência
Isto mostra que encontrar raízes não-negativas de
é exatamente o mesmo que encontrar pontos fixos de
dentro do domínio
(mais precisamente em
, porque
).
- Raízes negativas de
não aparecem como pontos fixos de (pois sempre). Para capturar raízes negativas seria preciso usar a outra rearranjo com sinal negativo da raiz quarta.
Resposta
Para
(e com
, de modo que o radicando seja não-negativo) vale
Portanto encontrar raízes não-negativas de
é equivalente a encontrar pontos fixos de
.