Verifique que o problema de encontrar uma raiz da função f(x)=x^{4}+2 x^{2}-x-3 é equivalente a encontrar um ponto fixo para cada uma das funções abaixo.
g_{1}(x)=\left(3+x-2 x^{2}\right)^{\frac{1}{4}} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar que resolver a equação \,f(x)=0\, com
f(x)=x^{4}+2x^{2}-x-3
é equivalente a encontrar um ponto fixo da função
g_{1}(x)=\left(3+x-2x^{2}\right)^{\frac{1}{4}}.
Informações dadas e perguntas claras:
  • Dado \,f(x)=x^{4}+2x^{2}-x-3.
  • Dada \,g_{1}(x)=\left(3+x-2x^{2}\right)^{1/4}.
  • Verificar a equivalência entre as soluções de \,f(x)=0 e os pontos fixos de \,g_{1}, isto é, a relação entre soluções de \,f(x)=0 e valores x tais que \,x=g_{1}(x).

Passo 2

Definição e observações importantes (bagagem pequena, mas necessária):
  • Um ponto x é ponto fixo de g_{1} quando \,x=g_{1}(x).
  • Para números reais, a função t\mapsto t^{1/4} é a raiz quarta principal: está definida apenas para t\ge 0 e seu valor é não-negativo. Em particular, \bigl(x^{4}\bigr)^{1/4}=|x|, não simplesmente x.
  • Portanto, ao tomar quarta raiz de uma igualdade envolvendo x^{4} devemos prestar atenção ao valor absoluto.

Passo 3

Reescrevendo a equação f(x)=0 de forma conveniente:
f(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{4}+2x^{2}-x-3=0.
Isolando x^{4},
x^{4}=3+x-2x^{2}.
Esta é uma álgebra elementar: apenas movi os termos 2x^{2}-x-3 para o outro lado.

Passo 4

Aplicando a raiz quarta em ambos os lados e usando que \bigl(x^{4}\bigr)^{1/4}=|x|:
|x|=\left(3+x-2x^{2}\right)^{\frac{1}{4}}.
Aqui é crucial: a igualdade acima só faz sentido real quando o lado direito está definido, ou seja, quando
3+x-2x^{2}\ge 0.
Vou resolver essa condição de domínio já a seguir.

Passo 5

Resolver a desigualdade do domínio \,3+x-2x^{2}\ge0:
Reescrevendo em forma padrão,
-2x^{2}+x+3\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}-x-3\le 0.
As raízes do polinômio 2x^{2}-x-3 são
x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}=\frac{1\pm5}{4},
ou seja \,x=-1 e \,x=\tfrac{3}{2}. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a desigualdade 2x^{2}-x-3\le0 vale para x entre as raízes. Logo o domínio onde o radicando é não-negativo é
-1\le x\le \tfrac{3}{2}.

Passo 6

Separar os dois casos decorrentes de |x|=\bigl(3+x-2x^{2}\bigr)^{1/4}:
Caso A: x\ge 0.
Então |x|=x, e a igualdade vira
x=\left(3+x-2x^{2}\right)^{\frac{1}{4}}.
Isto é exatamente x=g_{1}(x). Portanto, qualquer raiz x de f que satisfaça x\ge0 e esteja no domínio -1\le x\le \tfrac{3}{2} é um ponto fixo de g_{1}.
Caso B: x<0.
Então |x|=-x, e a igualdade vira
-x=\left(3+x-2x^{2}\right)^{\frac{1}{4}},
ou seja
x=-\left(3+x-2x^{2}\right)^{\frac{1}{4}}.
Isso significa que raízes negativas de f correspondem a pontos fixos da função x\mapsto -\bigl(3+x-2x^{2}\bigr)^{1/4}, mas não a pontos fixos de g_{1} (porque g_{1} é sempre não-negativa).

Passo 7

Conclusões finais e interpretação prática:
  • Para x\ge 0 com -1\le x\le \tfrac{3}{2}, tem-se a equivalência
f(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=g_{1}(x).
Isto mostra que encontrar raízes não-negativas de f é exatamente o mesmo que encontrar pontos fixos de g_{1} dentro do domínio -1\le x\le \tfrac{3}{2} (mais precisamente em [0,\tfrac{3}{2}], porque g_{1}(x)\ge0).
  • Raízes negativas de f não aparecem como pontos fixos de g_{1} (pois g_{1}(x)\ge0 sempre). Para capturar raízes negativas seria preciso usar a outra rearranjo com sinal negativo da raiz quarta.

Resposta

Para x\ge 0 (e com -1\le x\le \tfrac{3}{2}, de modo que o radicando seja não-negativo) vale
f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=g_{1}(x).
Portanto encontrar raízes não-negativas de f é equivalente a encontrar pontos fixos de g_{1}.

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