Use o método de Newton com mathbfx^(0)=0 para determinar mathbfx^(2) para cada um dos segguintes sistemas não lineares.
sin (4 pi x1 x2)-2 x2-x1 & =0 12 x1 x2^2+2 x1-5 x2+8 & =0

Passo 1

O enunciado pede duas iterações do método de Newton para o sistema não linear
sinl(4pi x1x2r)-2x2-x1=0,[6pt] dfrac12,x1x2^2+2x1-5x2+8=0,
com chute inicial x^(0)=(0,0)^T. Para cada iteração precisaremos de:
1. Avaliar f(x).
2. Calcular a jacobiana J(x).
3. Resolver J(x^(k)),De<a x=f(x^(k)).
4. Atualizar x^(k+1)=x^(k)-De<ax.]

Passo 2

Iteração 1 em x^(0)=(0,0):
1. f(x^(0))=l[f1,f2r]^T =l[,sin(0)-0-0,;tfrac12cdot0+0-0+8r]^T=(0,8)^T
2. Jacobiana
J(x)= cos(4pi x1x2),(4pi x2)-1 & cos(4pi x1x2),(4pi x1)-2[6pt] tfrac12,x2^2+2 & x1x2-5
Em (0,0) isso dá
J(0,0)= -1 & -2[4pt] 2 & -5
3. O determinante é det=9 e
J(0,0)^-1=19 -5 & 2[4pt] -2 & -1
Logo De<ax=J^-1f =tfrac19[16,,-8]^T=(16/9,,-8/9)^T
4. Atualizando,
x^(1)=x^(0)-De<ax =l(0,0r)^T-l(16/9,,-8/9r)^T =l(-16/9,;8/9r)^T ]

Passo 3

Iteração 2 em x^(1)=l(-16/9,;8/9r)approx(-1,7778,;0,8889):
1. Calcular f(x^(1)). Primeiro 4pi x1x2approx -19,8565,
f1=sin(-19,8565)-2(0,8889)-(-1,7778)approx -0,8469,
f2=tfrac12(-1,7778)(0,8889)^2+2(-1,7778)-5(0,8889)+8approx -0,7022
2. Jacobiana em x^(1):
cos(4pi x1x2)approxcos(-19,8565)approx0,535,
J(x^(1))approx 0,535cdot(4picdot0,8889)-1 & 0,535cdot(4picdot(-1,7778))-2[4pt] tfrac12(0,8889)^2+2 & (-1,7778)(0,8889)-5 approx 4,972 & -13,951[4pt] 2,395 & -6,5802
3. Determinante detapprox0,705. Inversa
J^-1approx10,705 -6,5802 & 13,951[4pt] -2,395 & 4,972
Multiplicando por fapprox(-0,8469,-0,7022)^T vem
De<axapprox(-5,991,,-2,073)^T
4. Atualizando,
x^(2)=x^(1)-De<ax approx -1,7778[3pt] 0,8889 - -5,991[3pt] -2,073 = 4,213[3pt] 2,962 ]

Resposta

x^(2)approx 4,213 2,962

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