[3] Elabore um algoritmo para o método de Newton Inexato para a solução de um sistema não linear com n equações e n incógnitas.

Passo 1

O problema é resolver um sistema não linear
F(x)=0, F:R^ntoR^n,
usando o método de Newton Inexato. Para isso precisamos avaliar em cada iteração a função F, sua Jacobiana J(x), e resolver aproximadamente um sistema linear para obter o incremento de solução.

Passo 2

No Newton Inexato não se exige solução exata de
J(x^(k)),De<a x^(k) = -,F(x^(k))
Em vez disso, buscamos De<a x^(k) que satisfaça
|J(x^(k)),De<a x^(k) + F(x^(k))|;<=;etak,|F(x^(k))|,
onde etakin[0,1) é um fator de forçamento escolhido para equilibrar custo e convergência.

Passo 3

Definimos como critério de parada
|F(x^(k))|<=varepsilon
ou um número máximo de iterações kmax. A sequência etak pode ser fixa (por ex. etak=eta<1) ou adaptativa (por ex. etak=min(etamax,|F(x^(k))|^beta)) para garantir convergência local.

Passo 4

Reunindo tudo, o esquema iterativo é: inicializar x^(0), escolher varepsilon, etak e kmax. Para cada iteração k: avaliar F e J, obter De<a x^(k) aproximado conforme o critério acima, atualizar x^(k+1) e testar a convergência.

Resposta

Algoritmo Newton Inexato para sistemas não lineares
Entrada: função , Jacobiana , chute inicial , tolerância , sequência de forçantes , máximo de iterações .
Saída: aproximação tal que .
1. Defina .
2. Enquanto e faça
Calcule e .
Encontre aproximado satisfazendo
Atualize  
\[x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)}.\]  
Atualize \(k\leftarrow k+1\).  
3. Retorne como solução aproximada.

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