[3] Elabore um algoritmo para o método de Newton Inexato para a solução de um sistema não linear com
equações e
incógnitas.
Passo 1
O problema é resolver um sistema não linear
usando o método de Newton Inexato. Para isso precisamos avaliar em cada iteração a função
, sua Jacobiana
, e resolver aproximadamente um sistema linear para obter o incremento de solução.
Passo 2
No Newton Inexato não se exige solução exata de
Em vez disso, buscamos
que satisfaça
onde
é um fator de forçamento escolhido para equilibrar custo e convergência.
Passo 3
Definimos como critério de parada
ou um número máximo de iterações
. A sequência
pode ser fixa (por ex.
) ou adaptativa (por ex.
) para garantir convergência local.
Passo 4
Reunindo tudo, o esquema iterativo é: inicializar
, escolher
,
e
. Para cada iteração
: avaliar
e
, obter
aproximado conforme o critério acima, atualizar
e testar a convergência.
Resposta
Algoritmo Newton Inexato para sistemas não lineares
Entrada: função
, Jacobiana
, chute inicial
, tolerância
, sequência de forçantes
, máximo de iterações
.
Saída: aproximação tal que
.
Saída: aproximação
1. Defina
.
2. Enquanto e
faça
Calcule e
.
Encontre aproximado satisfazendo
2. Enquanto
Calcule
Encontre
Atualize
\[x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)}.\]
Atualize \(k\leftarrow k+1\).
3. Retorne
como solução aproximada.