Use o Método de Newton-Raphson e Método das Secantes para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor igual a 10^{-2} (Obs.: depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela (modelo abaixo) com o resultado de cada iteração dos dois métodos):
f(x)=x^{3}+\ln x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz positiva da função
f(x)=x^{3}+\ln x
usando o Método de Newton–Raphson e o Método das Secantes, com tolerância de erro \le10^{-2}. Vamos precisar da derivada
f'(x)=3x^{2}+\frac{1}{x}
para o Método de Newton, e para as Secantes escolhemos os chutes iniciais x_{0}=0,5 e x_{1}=1.

Passo 2

Aplicando o Método de Newton–Raphson, com x_{0}=1, a fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Calculamos até \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert\le0,01. O resultado das iterações fica na tabela:
\begin{array}{c|c|c|c} i & x_{i} & f(x_{i}) & \lvert x_{i}-x_{i-1}\rvert\\hline 0 & 1,00000 & 1,00000 & -\\\\ 1 & 0,75000 & 0,13419 & 0,25000\\\\ 2 & 0,70558 & 0,00303 & 0,04442\\\\ 3 & 0,70454 & 0,00036 & 0,00104 \end{array}

Passo 3

Aplicando o Método das Secantes, com x_{0}=0,5 e x_{1}=1, a fórmula é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Iteramos até \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert\le0,01. As iterações são:
\begin{array}{c|c|c|c|c} i & x_{i-1} & x_{i} & f(x_{i}) & \lvert x_{i}-x_{i-1}\rvert\\hline 1 & 0,50000 & 1,00000 & 1,00000 & 0,50000\\\\ 2 & 1,00000 & 0,68119 & -0,06743 & 0,31881\\\\ 3 & 0,68119 & 0,70133 & -0,00943 & 0,02014\\\\ 4 & 0,70133 & 0,70460 & 0,00127 & 0,00327 \end{array}

Resposta

A aproximação da raiz positiva de f(x)=x^{3}+\ln x com erro \le10^{-2} é
x\approx0,705
obtida em 3 iterações pelo Método de Newton–Raphson e em 4 iterações pelo Método das Secantes.

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