Use o Método de Newton-Raphson e Método das Secantes para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor igual a 10^{-2} (Obs.: depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela (modelo abaixo) com o resultado de cada iteração dos dois métodos):
f(x)=x^{2}-\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz positiva de
f(x)=x^{2}-\sin x
usando o Método de Newton–Raphson e o Método das Secantes, com erro \le 10^{-2}. Vamos precisar da derivada
f'(x)=2x-\cos x
e das fórmulas iterativas de cada método.

Passo 2

Método de Newton–Raphson:
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Escolhemos x_0=1.
Método das Secantes:
x_{k+1}=x_k-\;f(x_k)\,\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
Escolhemos x_0=0,5 e x_1=1.

Passo 3

Newton–Raphson, com x_0=1: f(1)=1-\sin1\approx0,15853, f'(1)=2-\cos1\approx1,45969,
x_1=1-\frac{0,15853}{1,45969}\approx0,8914, \Delta_1=|x_1-x_0|\approx0,1086>10^{-2}.
Em seguida
f(0,8914)\approx0,01641,\quad f'(0,8914)\approx1,15638,
x_2=0,8914-\frac{0,01641}{1,15638}\approx0,8772,\quad \Delta_2\approx0,0142>10^{-2}.
Mais uma iteração
f(0,8772)\approx-5\times10^{-5},\quad f'(0,8772)\approx1,11671,
x_3=0,8772-\frac{-5\times10^{-5}}{1,11671}\approx0,87725,\quad \Delta_3\approx5\times10^{-5}<10^{-2}.
Pára aqui.

Passo 4

Secantes, com x_0=0,5, x_1=1: f(0,5)\approx-0,22943, f(1)\approx0,15853,
x_2 =1 - 0,15853\;\frac{1-0,5}{0,15853-(-0,22943)}\approx0,7956,\quad \Delta_2=0,2044>10^{-2}.
Depois
f(0,7956)\approx-0,0809,
x_3 =0,7956 -(-0,0809)\;\frac{0,7956-1}{-0,0809-0,15853}\approx0,8647,\quad \Delta_3\approx0,0691>10^{-2}.
Em seguida
f(0,8647)\approx-0,0127,
x_4 =0,8647 -(-0,0127)\;\frac{0,8647-0,7956}{-0,0127-(-0,0809)}\approx0,8776,\quad \Delta_4\approx0,0129>10^{-2}.
Mais uma
f(0,8776)\approx3,3\times10^{-4},
x_5 =0,8776 - 3{,}3\times10^{-4}\;\frac{0,8776-0,8647}{3{,}3\times10^{-4}-(-0,0127)}\approx0,8773,\quad \Delta_5\approx0,0003<10^{-2}.
Pára aqui.

Passo 5

Tabela com x_k de cada método em cada iteração:
k x_k (Newton) x_k (Secante)
0 1 0,5
1 0,8914 1
2 0,8772 0,7956
3 0,87725 0,8647
4 0,8776
5 0,8773

Resposta

Aproximação da raiz positiva com erro \le10^{-2}: x\approx0,8773.

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