Use o Método de Newton-Raphson e Método das Secantes para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor igual a 10^{-2} (Obs.: depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela (modelo abaixo) com o resultado de cada iteração dos dois métodos):
f(x)=x \log x-1

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz positiva da equação
f(x)=x\ln x-1=0
usando o Método de Newton–Raphson e o Método das Secantes até que o erro entre iterações seja menor ou igual a 10^{-2}. Vamos precisar da derivada
f'(x)=\ln x+1
e de dois palpites iniciais para cada método.

Passo 2

Aplicando Newton–Raphson, a iteração é
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n\ln x_n -1}{\ln x_n +1}.
Tomamos x_0=2 e iteramos até \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|\le10^{-2}.

Passo 3

Cálculo das iterações de Newton–Raphson:
\begin{aligned} x_0&=2,\\\ f(x_0)&=2\ln2-1\approx0,386,\quad f'(x_0)=\ln2+1\approx1,693,\\\ x_1&=2-\frac{0,386}{1,693}\approx1,7721,\\\ f(x_1)&=1,7721\ln1,7721-1\approx0,0146,\quad f'(x_1)=\ln1,7721+1\approx1,5725,\\\ x_2&=1,7721-\frac{0,0146}{1,5725}\approx1,7628,\quad |x_2-x_1|\approx0,0093\le0,01. \end{aligned}
Portanto paramos em n=2. Se quisermos, podemos computar mais uma iteração para confirmar convergência rápida:
x_3\approx1,7627,\quad |x_3-x_2|\approx0,0001\le0,01.

Passo 4

No Método das Secantes usamos x_0=1 e x_1=2. A fórmula é
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Iteramos até \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|\le10^{-2}:
\begin{aligned} x_0&=1,\quad f(x_0)=1\ln1-1=-1,\\\ x_1&=2,\quad f(x_1)=2\ln2-1\approx0,386,\\\ x_2&=2-\!0,386\frac{2-1}{0,386-(-1)}\approx1,7214,\\\ |x_2-x_1|&\approx0,2786>0,01;\\\ f(x_2)&=1,7214\ln1,7214-1\approx-0,0641;\\\ x_3&=1,7214-\!(-0,0641)\frac{1,7214-2}{-0,0641-0,386}\approx1,7610,\\\ |x_3-x_2|&\approx0,0396>0,01;\\\ f(x_3)&=1,7610\ln1,7610-1\approx-0,0021;\\\ x_4&=1,7610-\!(-0,0021)\frac{1,7610-1,7214}{-0,0021-(-0,0641)}\approx1,7623,\\\ |x_4-x_3|&\approx0,0013\le0,01. \end{aligned}

Passo 5

Tabela com as iterações de cada método (arredondado a 4 casas decimais):
\begin{array}{c|c|c} \text{iteração }n & \text{Newton }x_n & \text{Secante }x_n\\hline 0 & 2,0000 & 1,0000\\\\ 1 & 1,7721 & 2,0000\\\\ 2 & 1,7628 & 1,7214\\\\ 3 & 1,7627 & 1,7610\\\\ 4 & \text{(–)} & 1,7623 \end{array}çã

Resposta

A raiz aproximada comum é cerca de 1,7628.

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